주 메뉴 열기

순서론에서, 분배 격자(分配格子, 영어: distributive lattice)는 만남과 이음이 서로 분배 법칙을 따르는 격자이다. 모든 분배 격자는 항상 집합들의 포함 관계에 따른 격자로 나타낼 수 있다.

목차

정의편집

임의의 격자  에 대하여, 다음 네 조건들은 서로 동치이다.

  • 모든  에 대하여,  
  • 모든  에 대하여,  
  • 모든  에 대하여,  
  • 모든  에 대하여, 만약  이며  라면  이다.

이 조건을 만족시키는 격자를 분배 격자라고 한다.

분배 격자의 준동형사상은 격자로서의 준동형사상이다. 즉, 격자 준동형사상 조건은 자동적으로 분배 법칙을 만족시킨다.

성질편집

임의의 집합  에 대하여, 그 멱집합의 격자  는 분배 격자이며, 이 격자의 모든 부분 격자도 분배 격자이다. 반대로, 선택 공리를 가정한다면, 모든 분배 격자는 멱집합 격자의 부분 격자와 동형이다.

모든 분배 격자는 모듈러 격자이다.

모든 헤이팅 대수는 분배 격자이다. 불 대수는 헤이팅 대수의 특수한 경우이므로 역시 분배 격자이다. 모든 전순서 집합  은 분배 격자이며, 이와 동형인 집합 격자는  이다.

편집

임의의 집합  에 대하여, 그 멱집합의 격자  는 분배 격자이다.

양의 정수의 (인수 관계에 대한) 격자  는 분배 격자이다. 이 경우, 각 양의 정수를

 

로 대응시키면, 이 격자와 동형인 집합 격자를 얻는다.

다음 두 부분 순서 집합들은 (실선만을 포함하고 점선을 포함하지 않는다면) 격자를 이루지만, 분배 격자를 이루지 않는다. 반면, 점선을 추가하면 이들은 분배 격자가 된다. 즉, 분배 격자는 비분배 격자를 부분 순서 집합으로 포함할 수 있다.

 

자유 분배 격자편집

 
생성원의 크기가 0, 1, 2, 3인 자유 유계 분배 격자. 자유 분배 격자의 경우 0과 1을 포함하지 않는다.

(유계) 분배 격자들은 대수 구조 다양체를 이루므로, 이에 대한 자유 대수를 정의할 수 있다. 즉, 자유 분배 격자(영어: free distributive lattice) 및 자유 유계 분배 격자(영어: free bounded distributed lattice)의 개념이 존재하며, 이는 자유 격자와 다르다. 일반적으로, 자유 격자는 구체적으로 묘사하기 힘들지만, 자유 분배 격자는 간단히 묘사할 수 있다.

생성원들의 집합  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들로부터 생성되는 자유 분배 격자  는 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.

 

여기서

  • 모든  에 대하여  유한 집합이다.
  • 모든  에 대하여 만약  라면  이다.
  •  이며,   가 존재한다.

이러한 원소는

 

로 해석된다.  개의 원소로 생성되는 자유 분배 격자의 크기는 데데킨트 수(영어: Dedekind number)라고 하며, 다음과 같다 ( ).

0, 1, 4, 18, 166, 7579, 7828352, 2414682040996, 56130437228687557907786, … (OEIS의 수열 A7153)

자유 유계 분배 격자의 경우, 원소들은 위와 마찬가지이지만, 마지막 조건이 적용되지 않는다. 즉,

 

 

이 존재한다. 즉, 같은 수의 생성원들을 갖는 자유 분배 격자보다 원소가 두 개 더 많다. 따라서 이들의 크기는 다음과 같다.

2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788, … (OEIS의 수열 A372)

참고 문헌편집

외부 링크편집