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집합 멱집합하세 도형. 녹색 원소들은 극대 필터를 구성하며, 반대로 흰색 원소들은 극대 순서 아이디얼을 구성한다.

순서론에서 필터(영어: filter)는 어떤 원순서 집합하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, 영어: order ideal)은 어떤 원순서 집합상향 하집합이다.

일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.

정의편집

필터와 순서 아이디얼편집

원순서 집합  부분 집합   가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다.

원순서 집합  부분 집합   가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다.

소 필터와 소 순서 아이디얼편집

원순서 집합  의 필터  에 대하여, 만약  가 아이디얼이라면,  소 필터(영어: prime filter),  소 순서 아이디얼(영어: prime order ideal)이라고 한다.

극대 필터와 극대 순서 아이디얼편집

원순서 집합  의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합  을 이루며, 만약  하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소  자체이다. 이 경우,  극대 원소극대 필터(極大filter, 영어: maximal filter) 또는 초필터(超filter, 영어: ultrafilter 울트라필터[*])라고 한다.

마찬가지로, 원순서 집합  의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합  을 이루며, 만약  상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소  자체이다. 이 경우  극대 원소극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, 영어: maximal order ideal)라고 한다.

(  자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

성질편집

합집합과 교집합편집

같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합   속의 필터들의 사슬  에 대하여, 합집합  은 필터를 이룬다. 그러나 교집합  는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, 자연수 집합  에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대  ,  를 추가하였을 때,

 

는 필터이지만,

 

하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.

극대 필터 정리편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 하향 원순서 집합  
  • 필터  
  • 최소 원소  . 즉, 모든  에 대하여  이다.

극대 필터 정리(極大filter定理, 영어: maximal filter theorem)에 따르면,  를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른의 보조정리로 쉽게 증명된다.

증명:

부분 순서 집합

 

를 생각하자. 초른의 보조정리에 따라,   속의 모든 사슬상계를 가지는 것을 보이면 족하다.

  속의 임의의 사슬  에 대하여,   상계이다. 이제  임을 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여,  라고 가정하자. 그렇다면

 
 를 찾을 수 있다. 그렇다면  인데, 이는 모순이다.

마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합  에서,   전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

격자편집

격자  부분 집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 순서 아이디얼이다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • 공집합이 아니다.
    •  에 대하여  이다.
    •   에 대하여  이다.

격자  부분 집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 필터이다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • 공집합이 아니다.
    •  에 대하여  이다.
    •   에 대하여  이다.

불 대수편집

불 대수  는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.

 
 

또한, 불 대수  는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

 

그렇다면,  의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.

불 대수   위의 필터  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  는 극대 필터이다.
  • 임의의  에 대하여,  이거나  이다.
  •  는 극대 순서 아이디얼이다.

그물의 유도 필터편집

집합  상향 원순서 집합  그물  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  의 꼬리들의 집합

 

하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

 

를 그물  유도 필터(영어: derived filter)라고 한다.

마찬가지로, 집합  하향 원순서 집합   및 함수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  의 머리들의 집합

 

상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

 

 유도 순서 아이디얼(영어: derived order ideal)라고 한다.

수열그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.

필터에 대응되는 그물편집

모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.[1]

집합  멱집합  부분 집합  가 주어졌을 때, 집합

 

에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

 

만약  상향 원순서 집합이며  이라면   역시 상향 원순서 집합이며,

 
 

그물을 이룬다. 반대로,  하향 원순서 집합이며  라면   역시 하향 원순서 집합이며,

 
 

그물을 이룬다.

멱집합 위의 필터편집

집합  멱집합   위의 필터  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이이다.

  •  는 극대 필터이다.
  •  이며, 임의의  에 대하여, 만약  라면  이거나  이다.
  •  이며, 임의의  에 대하여,  이거나  이다.

따라서, 집합  멱집합   위의 극대 필터  는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합  는 "대부분"이거나 ( ), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 ( ).

한원소 부분 집합에 대한 주 필터

 

는 극대 필터이다. 유한 집합멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

완비 극대 필터편집

기수  에 대하여,  -완비 극대 필터(영어:  -complete maximal filter)는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터  이다.

  • 임의의  에 대하여, 만약  라면  이다.

정의에 따라, 모든 극대 필터는  -완비 극대 필터이다.

집합   위의 극대 필터  완비성  는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.

  •  이며   가 존재한다.

만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상   이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

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자명한 필터편집

임의의 하향 원순서 집합   속에서,   자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합   속에서,   자체는 순서 아이디얼을 이룬다.

주 필터와 주 아이디얼편집

어떤 원소  를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(영어: principal filter)로 부르며,

 

로 표기한다. 어떤 원소  를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼(영어: principal order ideal)로 부르며,

 

로 표기한다.

원순서 집합  의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.

프레셰 필터편집

집합   및 무한 기수  에 대하여,

 

 위의 필터를 이룬다. 만약  이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터(영어: Fréchet filter)라고 한다.

근방 필터편집

위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

역사편집

순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다.[2] "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"(영어: μ-ideal)이라는 이름으로 일반화하였다.[3]:3, Definition 1 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"(영어: α-ideal)이라고 명명하였다.[3]:4, Definition 1

이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(프랑스어: filtre 필트르[*])와 "초필터"(프랑스어: ultrafiltre 윌트라필트르[*])라는 용어를 도입하였다.[4][5] 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.

참고 문헌편집

  1. Bartle, R. G. (1955년 10월). “Nets and filters in topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (8): 551–557. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901. doi:10.2307/2307247. 
  2. Stone, M. H. (1934년 3월). “Boolean algebras and their application to topology”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 20 (3): 197–202. JFM 60.0108.02. PMC 1076376. Zbl 0010.08104. doi:10.1073/pnas.20.3.197. 
  3. Stone, M. H. (1937). “Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics”. 《Časopis pro pěstování matematiky a fysiky》 (영어) 67 (1): 1–25. ISSN 1802-114X. JFM 63.0830.01. Zbl 0018.00303. 
  4. Cartan, Henri (1937). “Théorie des filtres”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 205: 595-598. JFM 63.0569.02. Zbl 0017.24305. 
  5. Cartan, Henri (1937). “Filtres et ultrafiltres”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 205: 777-779. JFM 63.0569.03. Zbl 0018.00302. 

외부 링크편집