비각운동량

천체 역학에서 비각운동량 ${\vec {h}}$는 이체 문제의 분석에서 중추적인 역할을 한다. 뉴턴 역학에서 이러한 물리량이 이상적인 궤도에 대한 상수 벡터임을 보일 수 있다. 이는 본질적으로 케플러의 제2법칙을 증명해준다.

이 값은 각운동량 ${\vec {L}}$이 아니라 각운동량에 질량을 나눈 값이므로 비각운동량이라고 한다. 따라서 "비"라는 단어는 "질량비" 또는 질량으로 나눈 것임을 뜻한다.

${\vec {h}}={\frac {\vec {L}}{m}}$

따라서 SI 단위는 m ² · s ⁻¹이다. $m$은 환산 질량 ${\frac {1}{m}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}$을 나타낸다.

정의

상대 비각운동량은 상대 위치 벡터 ${\vec {r}}$과 상대 속도 벡터 ${\vec {v}}$의 외적으로 정의된다.

${\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}={\frac {\vec {L}}{m}}$

${\vec {h}}$ 벡터는 항상 순간 회전 궤도면과 수직하며, 순간 회전 궤도면은 순간 섭동 궤도와 일치한다. 따라서 ${\vec {h}}$ 벡터는 수년간의 섭동이 포함된 평균 평면과는 수직하지 않는다.

물리학에서 늘 그렇듯이 벡터 ${\vec {h}}$의 크기는 $h$로 표시된다:

$h=\left\|{\vec {h}}\right\|$

이상적인 조건에서 상대 비각운동량이 일정하다는 증명

전제 조건

다음 증명은 뉴턴의 만유인력 법칙에도 적용된 단순화 하에서만 유효하다.

점질량 $m_{1}$과 $m_{2}$가 서로 거리 $r$만큼 떨어져있으며, 중력에 의해 서로 ${\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}$의 힘이 작용한다. 이 힘은 거리에 관계없이 즉시 작용하며 계에 존재하는 유일한 힘이다. 좌표계는 관성의 법칙을 만족한다.

추가적인 단순화를 위해 $m_{1}\gg m_{2}$를 가정한다. 따라서 좌표계의 원점에서 $m_{1}$은 중심체이며, $m_{2}$ 주위를 도는 위성이다. 이때 환산질량은 $m_{2}$와 같다. 그리고 2체 문제의 방정식은 다음과 같이 써진다.

${\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}$

$\mu =Gm_{1}$은 표준 중력 변수이며, 거리 벡터 ${\vec {r}}$ (절대값: $r$)은 위에서 가정한 조건에 의해 원점(중심체)에서 위성을 가리키게 된다.

때때로 $\mu$를 환산 질량으로 표기하는 경우도 있기 때문에, 본 글의 표준 중력 변수 $\mu$를 환산 질량과 혼동하지 않는 것이 중요하다.

증명

$m_{1}$ 주위의 궤도에서 $m_{2}$의 거리 벡터 ${\vec {r}}$, 속도 벡터 ${\vec {v}}$, 진근점 이각 $\theta$, 비행 경로 각도 $\phi$. 타원의 가장 중요한 측정값들도 표시되었다(그 중 진근점 이각 $\theta$은 $\nu$로 표시되었다).

2체 문제의 방정식을 거리 벡터 ${\vec {r}}$와 외적하면 상대 비각운동량을 얻는다.

${\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {r}}\times {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\vec {r}}\times {\vec {r}}\right)$

벡터 자체와의 외적(우변)은 0이다. 왼쪽은 곱의 미분법에 따라 다음과 같이 단순화된다.

${\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {r}}}\times {\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\frac {\mathrm {d} \left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)}{\mathrm {d} t}}=0$

이는 ${\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}$ 가 일정함을 의미한다(따라서 이는 보존량이다). 그리고 이는 정확히 위성의 비각운동량이다.

${\vec {h}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}{\text{ is const.}}$

이 벡터는 궤도 평면과 수직이며, 각운동량은 바뀌지 않으므로 궤도 평면도 바뀌지 않는다.

비행 경로 각도 $\phi$의 정의와 그리고 속도 벡터의 횡단 및 반경 성분(오른쪽 그림 참조)을 통해 2체 문제에 대한 추가적인 통찰을 얻을 수 있다. 다음 세 공식으로도 상대 비각운동량 벡터의 절대값을 계산할 수 있다.

• $h=rv\cos \phi$
• $h=r^{2}{\dot {\theta }}$
• $h={\sqrt {\mu p}}$

이때 $p$는 곡선의 원뿔 곡선 이라고 부른다.

케플러의 행성 운동 법칙

케플러의 행성 운동 법칙은 위의 관계를 통해 거의 직접적으로 증명될 수 있다.

제1법칙

증명은 이체 문제의 방정식에서 시작된다. 이번에는 방정식에 상대 비각운동량을 외적한다.

${\ddot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}\times {\vec {h}}$

좌변은 각운동량은 일정하기 때문에 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)$와 같다.

우변은 다음과 같이 정리할 수 있다:

$-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\vec {r}}\times {\vec {h}}\right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left({\vec {r}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {r}}-r^{2}{\vec {v}}\right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}{\vec {r}}-{\frac {\mu }{r}}{\vec {v}}\right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\vec {r}}{r}}\right)$

이 두 식을 동일하게 설정하고 시간이 지남에 따라 적분하면 다음과 같다(이때 적분 상수 ${\vec {C}}$또한 고려).

${\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}$

이제 이 방정식에 ${\vec {r}}$을 내적하고 재배열하면 다음 식을 얻을 수 있다.

${\begin{aligned}{\vec {r}}\cdot \left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)&={\vec {r}}\cdot \left(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}\right)\\\Rightarrow {}\left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)\cdot {\vec {h}}&=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow {}h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}$

마지막 식을 정리하면 궤도 방정식을 의미한다.

$r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}$

이것은 반통경(semi-latus rectum) $p={\frac {h^{2}}{\mu }}$와 이심률 $e={\frac {C}{\mu }}$일 때 극좌표계에서 원뿔 단면의 방정식이다. 이는 곧 케플러의 제1법칙과 같다.

The orbit of a planet is an ellipse with the Sun at one focus.

— 요하네스 케플러, Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis,

제2법칙

두 번째 법칙은 상대 비각운동량의 절댓값을 계산하는 세 방정식 중 두 번째 방정식을 사용하면 즉시 도출된다.

두 번째 방정식에 의해 도출된 식 $\mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\ \mathrm {d} \theta$과 무한소의 각도에서 궤도 내부 영역을 나타내는 식인 $\mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\ \mathrm {d} \theta$을 다음과 같이 통합할 수 있다.

$\mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\ \mathrm {d} A$

위 식을 문장으로 풀어 쓰면 다음과 같다.

The line joining the planet to the Sun sweeps out equal areas in equal times.

— Johannes Kepler, Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis,

제3법칙

케플러 제3법칙은 두 번째 법칙에서 바로 유도된다. 위 식을 1회전에 걸쳐 적분하면 공전 주기를 얻을 수 있다.

$T={\frac {2\pi ab}{h}}$

$\pi ab$는 타원의 면적이다. 단반경에 $b={\sqrt {ap}}$를 대입하고, 상대 비각운동량에 $h={\sqrt {\mu p}}$를 대입하면 다음 식을 얻을 수 있다.

$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$

따라서 위성의 장반경과 공전 주기 사이 관계는 표준 중력 상수만 관여한다. 이는 케플러 제3법칙과 동일하다.

The square of the period of a planet is proportional to the cube of its mean distance to the Sun.

— 요하네스 케플러, Harmonices Mundi libri V,

참고 문서

• 궤도 비에너지, 2체 문제에서 보존된 또 다른 양.
• 고전적인 중심력 문제#특정 각운동량

각주

내용주

참조주