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〈완벽한 균형: 일반적인 기하학에 대한 유리삼각법〉(Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry)는 노르만 J. 빌트베르커가 2005년에 출판한 책으로, 기존의 삼각법에 반대하여 새로운 삼각법 이론을 소개하고 있다. 빌트베르커는 예일 대학교에서 박사 학위를 받았으며, 1984년부터 1985년까지는 스탠포드 대학교에서, 1986년부터 1989년까지는 토론토 대학교에서 각각 교수직으로 근무하였다. 현재는 오스트레일리아의 뉴사우스웨일즈 대학교에서 부교수로 일하고 있다.

개요

유리삼각법에서는 기존의 거리와 각 대신에 쿼드런스(거리의 제곱)와 퍼짐(각에 대한 사인 값의 제곱)이라는 기본적인 개념을 도입하였다. 이 두 변수를 사용함으로서 입력 정보와 상응하는 복잡도를 가진 출력 결과를 얻을 수 있다. 예를 들어, 전형적인 삼각법 문제에서 임의의 유리수에 대해 모든 쿼드런스와 퍼짐이 주어졌다면, 계산된 결과는 유리수, 또는 유리수의 제곱근이 되는 것이다.

이러한 유리수적 성질은 선형성을 포기함으로서 얻는 것이다. 기존의 거리와 각과는 다르게, 쿼드런스와 퍼짐은 길이와 회전량에 비례하지 않는다. 이와 비슷하게, 두 길이나 회전량의 합은 각각에 대한 쿼드런스나 퍼짐의 합과 같지 않다.

특이하게, 빌트베르거는 기존의 삼각법을 고전 삼각법이라고 하였다. 이는 점이 순서쌍 (x,y)로, 직선이 ax+by+c=0 꼴의 일차방정식으로 정의되는 직교좌표계와는 다른 것이다.

유리삼각법에 적용된 수학은 선형대수학(내적이나 이차 형식 같은 유리수적 방법을 이용하여)으로 표현된 기하학의 특별한 예지만, 처음 삼각법을 공부하는 학생은 대부분 기하학에서 사용된 선형대수학을 배운 적이 없기 없다.