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기하학 에서 직선 (直線, 영어 : (straight) line )은 곧게 뻗은 선을 추상화한 개념이다. 직관에 가장 가까운 유클리드 기하학 은 직선에 정의를 두지 않으며, 대신 그 성질을 나타내는 공리를 세워 기술한다. 이 경우 직선은 점이 서로 반대인 두 방향으로 휘지 않고 무한히 뻗어나가 얻는 1차원 도형으로 해석된다. 유클리드 기하학의 표준 모형인 해석기하학 에서 직선은 연립 일차 방정식 의 특수한 경우로 주어진다. 사영 평면 의 직선은 유클리드 기하학의 직선에 무한원점 하나를 보탠 경우와 모든 무한원점으로 이루어진 직선(무한원직선 )의 경우로 나뉘며, 3차원 공간의 고정된 점을 포함하는 평면들로 해석할 수도 있다. 미분기하학 에서 직선은 측지선 의 개념을 통해 기술할 수 있다. 결합기하학 은 직선을 점들의 집합으로 생각하는 대신 점이 놓였는지(점을 지나는지)에 대한 관계를 논할 수 있는, 점과는 독립된 대상으로 간주한다.
직교 좌표 평면 위의 직선(일차 함수 )의 예. 빨간 직선과 파란 직선은 기울기 가 같고, 빨간 직선과 초록 직선은 y 절편이 같다.
유클리드 기하학 을 처음 다룬 《원론 》은 선을 "길이가 있되 너비가 없다"고 정의한 뒤 직선을 "그 위의 점이 평등히 놓인 선"이라고 정의하지만, 이는 오늘날의 기준에서 정의에 속하지 않는다. 직선을 기술하는 공리들 역시 정의되지 않은 용어를 사용한다는 점에서 엄밀하지 않다. 힐베르트 공리계 는 점과 직선의 관계에 대한 공리의 엄밀한 서술과 직선이 만족시켜야 하는 아르키메데스 성질 및 완비성 을 추가하여 유클리드 기하학을 엄밀화하였다. 3차원 직교 좌표 공간 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} E 3 {\displaystyle \mathbb {E} ^{3}} 직교 좌표계 를 도구로 사용하여 대수학 적으로 다룰 수 있다. 즉, 직교 좌표 공간 위의 점은 그 좌표와 일대일 대응하며, 직선은 어떤 일차 방정식 (들)을 만족시키는 좌표에 대응하는 점의 집합으로 해석할 수 있다. 더 추상적인 관점에서, 유클리드 기하학의 직선은 실수선 과 동형인 거리 공간 을 뜻하며, 이는 직교 좌표 평면 또는 직교 좌표 공간 또는 고차원 유클리드 공간 에 매장된 경우를 포함한다.
평면 직선
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직교 좌표계 (또는 극좌표계 )를 갖춘 평면 위의 직선은 매개 변수를 사용하지 않는다면 하나의 이변수 일차 방정식으로 표현되며, 이러한 방정식에는 여러 가지 꼴이 있다. 가장 일반적인 형식은 다음과 같다.
A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} 여기서 ( A , B ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle (A,B)\neq (0,0)} 기울기 가 m {\displaystyle m} y 절편n {\displaystyle n}
y = m x + n {\displaystyle y=mx+n} 이다. 수직선은 이러한 꼴의 방정식을 갖지 못한다. 점 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} m {\displaystyle m}
y − y 1 = m ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})} 이다. 수직선은 이렇게 나타낼 수 없다. 두 점 ( x 1 , y 1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}
( y − y 1 ) ( x 2 − x 1 ) = ( x − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) {\displaystyle (y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})} 이다. 이는 모든 직선에 적용할 수 있다. x 절편x 0 ≠ 0 {\displaystyle x_{0}\neq 0} y 절편이 y 0 ≠ 0 {\displaystyle y_{0}\neq 0}
x / x 0 + y / y 0 = 1 {\displaystyle x/x_{0}+y/y_{0}=1} 이다. 수평선이나 수직선이나 원점을 지나는 직선은 이러한 방정식을 가질 수 없다. 직선에 극좌표 방정식을 줄 수도 있다. 기울기와 절편을 사용하면
r sin θ = m r cos θ + n {\displaystyle r\sin \theta =mr\cos \theta +n} 와 같은 꼴을 얻으며, 두 절편을 사용하면
1 / r = cos θ / x 0 + sin θ / y 0 {\displaystyle 1/r=\cos \theta /x_{0}+\sin \theta /y_{0}} 와 같은 꼴을 얻는다. 직선은 매개 변수 방정식이나 벡터 방정식으로 나타낼 수도 있으며, 이는 고차원 공간에서도 마찬가지다. 점 P = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P=(x_{1},y_{1})} 방향 벡터 가 u = ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {u} =(a,b)\neq (0,0)}
x = x 1 + a t y = y 1 + b t ( t ∈ R ) {\displaystyle {\begin{matrix}x=x_{1}+at\\y=y_{1}+bt\end{matrix}}\qquad (t\in \mathbb {R} )} 또는 매개 변수 벡터 방정식
O Q → = O P → + t u ( t ∈ R ) {\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u} \qquad (t\in \mathbb {R} )} 를 만족시키는 점 Q = ( x , y ) {\displaystyle Q=(x,y)} ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} x = x 1 {\displaystyle x=x_{1}} ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} y = y 1 {\displaystyle y=y_{1}}
기울기와 절편
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평면 직선의 각종 방정식의 계수를 사용하여 직선의 각종 속성을 나타내는 공식은 다음과 같다. (분모가 0일 경우 존재하지 않는다고 생각하거나 무한대라고 생각할 수 있다.)
직선의 방정식
A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} y = m x + n {\displaystyle y=mx+n} x / x 0 + y / y 0 = 1 {\displaystyle x/x_{0}+y/y_{0}=1} 기울기
− A / B {\displaystyle -A/B} m {\displaystyle m} − y 0 / x 0 {\displaystyle -y_{0}/x_{0}} x 절편
− C / A {\displaystyle -C/A} − n / m {\displaystyle -n/m} x 0 {\displaystyle x_{0}} y 절편
− C / B {\displaystyle -C/B} n {\displaystyle n} y 0 {\displaystyle y_{0}}
두 직선의 위치 관계
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평면 위의 두 직선의 위치 관계는 일치·평행·교차 세 가지뿐이다. 즉, 완전히 겹치거나, 교점이 없거나, 교점이 유일하다. 이는 더 높은 차원에서는 성립하지 않는다. 교차할 경우 수직 인지(둘 사이의 각이 직각 인지)를 논할 수도 있다. 각 위치 관계의 필요충분조건은 방정식의 계수를 통해 나타낼 수 있으며, 이는 다음과 같다.
직선의 방정식
A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} y = m x + n {\displaystyle y=mx+n} O Q → = O P → + t u {\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u} } 직선의 방정식
A ′ x + B ′ y + C ′ = 0 {\displaystyle A'x+B'y+C'=0} y = m ′ x + n ′ {\displaystyle y=m'x+n'} O Q → = O P ′ → + t u ′ {\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP'}}+t\mathbf {u} '} 일치
A B ′ = B A ′ {\displaystyle AB'=BA'} B C ′ = C B ′ {\displaystyle BC'=CB'} m = m ′ {\displaystyle m=m'} n = n ′ {\displaystyle n=n'} u ∥ u ′ ∥ P P ′ → {\displaystyle \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\parallel {\overrightarrow {PP'}}} 평행
A B ′ = B A ′ {\displaystyle AB'=BA'} B C ′ ≠ C B ′ {\displaystyle BC'\neq CB'} m = m ′ {\displaystyle m=m'} n ≠ n ′ {\displaystyle n\neq n'} u ∥ u ′ ∦ P P ′ → {\displaystyle \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\nparallel {\overrightarrow {PP'}}} 교차
A B ′ ≠ B A ′ {\displaystyle AB'\neq BA'} m ≠ m ′ {\displaystyle m\neq m'} u ∦ u ′ {\displaystyle \mathbf {u} \nparallel \mathbf {u} '} 수직
A A ′ + B B ′ = 0 {\displaystyle AA'+BB'=0} m m ′ = − 1 {\displaystyle mm'=-1} u ⊥ u {\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {u} }
공간 직선
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3차원 직교 좌표 공간부터는 직선이 낱개의 일차 방정식으로 주어지지 않는다. 이는 추상적인 관점에서 1차원 공간이 더 이상 초평면 이 아니기 때문이다.
점 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (a,b,c)\neq (0,0,0)}
x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t ( t ∈ R ) {\displaystyle {\begin{matrix}x=x_{1}+at\\y=y_{1}+bt\\z=z_{1}+ct\end{matrix}}\qquad (t\in \mathbb {R} )} 이를 u = ( a , b , c ) {\displaystyle \mathbf {u} =(a,b,c)} P = ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle P=(x_{1},y_{1},z_{1})} Q = ( x , y , z ) {\displaystyle Q=(x,y,z)}
O Q → = O P → + t u ( t ∈ R ) {\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u} \qquad (t\in \mathbb {R} )} 매개 변수를 쓰지 않는 방정식은 다음과 같다.
x − x 1 a = y − y 1 b = z − z 1 c {\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{a}}={\frac {y-y_{1}}{b}}={\frac {z-z_{1}}{c}}} 단, a b c = 0 {\displaystyle abc=0}
직선이 두 평면의 교선일 경우, 직선은 다음과 같이 각각 두 평면을 나타내는 두 일차방정식의 연립으로 나타낼 수 있다.
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0} A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 {\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0} 이러한 직선의 한 방향 벡터는 ( A , B , C ) × ( A ′ , B ′ , C ′ ) {\displaystyle (A,B,C)\times (A',B',C')}
좌표 평면이나 좌표축에 평행하는 특수한 경우의 직선의 방정식은 다음과 같다.
지나는 점
좌표 평면 또는 좌표축
방향 벡터
(매개 변수 없는) 방정식
( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} xy 평면
u = ( a , b , 0 ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {u} =(a,b,0)\neq (0,0,0)} ( x − x 1 ) / a = ( y − y 1 ) / b {\displaystyle (x-x_{1})/a=(y-y_{1})/b} z = z 1 {\displaystyle z=z_{1}} xz 평면
u → = ( a , 0 , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle {\overrightarrow {u}}=(a,0,c)\neq (0,0,0)} ( x − x 1 ) / a = ( z − z 1 ) / c {\displaystyle (x-x_{1})/a=(z-z_{1})/c} y = y 1 {\displaystyle y=y_{1}} yz 평면
u = ( 0 , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {u} =(0,b,c)\neq (0,0,0)} ( y − y 1 ) / b = ( z − z 1 ) / c {\displaystyle (y-y_{1})/b=(z-z_{1})/c} x = x 1 {\displaystyle x=x_{1}} x 축
u = ( a , 0 , 0 ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {u} =(a,0,0)\neq (0,0,0)} y = y 1 {\displaystyle y=y_{1}} z = z 1 {\displaystyle z=z_{1}} y 축
u = ( 0 , b , 0 ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {u} =(0,b,0)\neq (0,0,0)} x = x 1 {\displaystyle x=x_{1}} z = z 1 {\displaystyle z=z_{1}} z 축
u = ( 0 , 0 , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {u} =(0,0,c)\neq (0,0,0)} x = x 1 {\displaystyle x=x_{1}} z = z 1 {\displaystyle z=z_{1}}
두 직선의 위치 관계
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3차원 공간 위의 두 직선의 위치 관계는 다음과 같이 네 경우로 나뉜다.
일치: 두 직선이 포함하는 점이 완전히 같다.
평행: 두 직선이 같은 평면 위에 놓이지만 교점이 없다.
교차: 두 직선이 단 하나의 교점을 갖는다.
꼬인 위치: 두 직선이 같은 평면 위에 놓이지 않는다. 고차원의 경우 역시 성립하지만 꼬인 위치가 더 다양한 경우를 포함하게 된다. 3차원 공간 위의 두 직선의 위치 관계의 필요충분조건을 방정식을 통해 나타내면 다음과 같다.[1]
직선의 방정식
O Q → = O P → + t u {\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u} } ( x − x 1 ) / a = ( y − y 1 ) / b = ( z − z 1 ) / c {\displaystyle (x-x_{1})/a=(y-y_{1})/b=(z-z_{1})/c} A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0} A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 {\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0} 직선의 방정식
O Q → = O P ′ → + t u ′ {\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP'}}+t\mathbf {u} '} ( x − x 1 ′ ) / a ′ = ( y − y 1 ′ ) / b ′ = ( z − z 1 ′ ) / c ′ {\displaystyle (x-x_{1}')/a'=(y-y_{1}')/b'=(z-z_{1}')/c'} A 1 ′ x + B 1 ′ y + C 1 ′ z + D 1 ′ = 0 {\displaystyle A_{1}'x+B_{1}'y+C_{1}'z+D_{1}'=0} A 2 ′ x + B 2 ′ y + C 2 ′ z + D 2 ′ = 0 {\displaystyle A_{2}'x+B_{2}'y+C_{2}'z+D_{2}'=0} 일치
u ∥ u ′ ∥ P P ′ → {\displaystyle \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\parallel {\overrightarrow {PP'}}} | a b a ′ b ′ | = | b c b ′ c ′ | = | a b x 1 ′ − x 1 y 1 ′ − y 1 | = | b c y 1 ′ − y 1 z 1 ′ − z 1 | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\y_{1}'-y_{1}&z_{1}'-z_{1}\end{vmatrix}}=0} | A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 1 ′ B 1 ′ C 1 ′ | = | A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 2 ′ B 2 ′ C 2 ′ | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0} | A 1 B 1 C 1 D 1 A 2 B 2 C 2 D 2 A 1 ′ B 1 ′ C 1 ′ D 1 ′ A 2 ′ B 2 ′ C 2 ′ D 2 ′ | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}=0} 평행
u ∥ u ′ ∦ P P ′ → {\displaystyle \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\nparallel {\overrightarrow {PP'}}} | a b a ′ b ′ | = | b c b ′ c ′ | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}=0} ¬ | a b x 1 ′ − x 1 y 1 ′ − y 1 | = | b c y 1 ′ − y 1 z 1 ′ − z 1 | = 0 {\displaystyle \lnot {\begin{vmatrix}a&b\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\y_{1}'-y_{1}&z_{1}'-z_{1}\end{vmatrix}}=0} 교차
u ∦ u ′ {\displaystyle \mathbf {u} \nparallel \mathbf {u} '} P P ′ → ⋅ ( u × u ′ ) = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')=0} ¬ | a b a ′ b ′ | = | b c b ′ c ′ | = 0 {\displaystyle \lnot {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}=0} | a b c a ′ b ′ c ′ x 1 ′ − x 1 y 1 ′ − y 1 z 1 − z 1 ′ | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}=0} ¬ | A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 1 ′ B 1 ′ C 1 ′ | = | A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 2 ′ B 2 ′ C 2 ′ | = 0 {\displaystyle \lnot {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0} 수직
u ⊥ u {\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {u} } P P ′ → ⋅ ( u × u ′ ) = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')=0} a a ′ + b b ′ + c c ′ = 0 {\displaystyle aa'+bb'+cc'=0} | a b c a ′ b ′ c ′ x 1 ′ − x 1 y 1 ′ − y 1 z 1 − z 1 ′ | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}=0} 꼬인 위치
u ∦ u ′ {\displaystyle \mathbf {u} \nparallel \mathbf {u} '} P P ′ → ⋅ ( u × u ′ ) ≠ 0 {\displaystyle {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\neq 0} | a b c a ′ b ′ c ′ x 1 ′ − x 1 y 1 ′ − y 1 z 1 − z 1 ′ | ≠ 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}\neq 0} | A 1 B 1 C 1 D 1 A 2 B 2 C 2 D 2 A 1 ′ B 1 ′ C 1 ′ D 1 ′ A 2 ′ B 2 ′ C 2 ′ D 2 ′ | ≠ 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}\neq 0}
직선과 평면의 위치 관계
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3차원 공간의 직선 l ⊂ R 3 {\displaystyle l\subset \mathbb {R} ^{3}} Σ ⊂ R 3 {\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}
l ⊂ Σ {\displaystyle l\subset \Sigma } l ∥ Σ {\displaystyle l\parallel \Sigma } # ( l ∩ Σ ) = 1 {\displaystyle \#(l\cap \Sigma )=1} l ⊥ Σ {\displaystyle l\perp \Sigma } 고차원의 경우
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유클리드 기하학 밖의 경우
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관련 개념
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반직선과 선분
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이 부분의 본문은
반직선 입니다.
반직선 은 직선 위의 점을 기준으로 직선의 한 쪽만을 취하여 얻는다. 선분 은 직선의 두 점 사이의 부분을 취하여 얻는다. 예를 들어, 직선의 매개 변수 방정식
x = x 1 + a t {\displaystyle x=x_{1}+at} y = y 1 + b t {\displaystyle y=y_{1}+bt} z = z 1 + c t {\displaystyle z=z_{1}+ct} 에서, t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} t ≤ 0 {\displaystyle t\leq 0} ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} t ∈ [ t ′ , t ″ ] ∪ [ t ′ , t ″ ] {\displaystyle t\in [t',t'']\cup [t',t'']} ( x 1 + a t ′ , y 1 + b t ′ , z 1 + c t ′ ) {\displaystyle (x_{1}+at',y_{1}+bt',z_{1}+ct')} ( x 1 + a t ″ , y 1 + b t ″ , z 1 + c t ″ ) {\displaystyle (x_{1}+at'',y_{1}+bt'',z_{1}+ct'')}
접선과 할선
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이 부분의 본문은
접선 및
할선 입니다.
곡선을 어떤 점에서 스치면서 지나가는 직선을 접선 이라고 한다. 곡선의 어떤 점에서의 접선은 곡선의 그 점 주위의 부분을 선형 근사 한다. 곡선의 접선은 곡선과 유일한 교점을 갖는 직선과 다른 개념이다. 원 의 접선이 될 필요충분조건은 교점의 유일성이지만, 이는 일반적인 곡선에 대하여 성립하지 않는다. 반면 곡선을 두 번 가로질러 지나가는 직선을 할선 이라고 한다. 접선은 할선이 가로지르는 두 교점이 점차 가까워질 때 가지는 극한이라고 생각할 수 있다.
같이 보기
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외부 링크
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선거 방식에 대해서는 직접 선거 문서를 참고하십시오.
일차 방정식 § 이변수 일차 방정식 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle t\in [t',t'']\cup [t',t'']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d59cdcf429807ef8548b719b7c0eca35fe176a)
