사타케 도표

군론에서, 사타케 도표(영어: Satake diagram)는 반단순 리 군 또는 가약군의 구조를 나타내는 그래프의 일종이다.[1] 딘킨 도표에 추가로 꼭짓점의 색깔(검은색 또는 흰색)과 흰 꼭짓점 위의 절대 갈루아 군의 작용을 그린 것이다.

정의편집

실수 반단순 리 대수 <matth>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 대합  에 대한 카르탕 분해

 

가 주어졌다고 하자. 즉,  의 콤팩트 실수 형태는  이다.  의 극대 아벨 부분 리 대수  를 고르고,  에 대하여 불변이며  를 카르탕 부분 대수

 

를 고르자. 그렇다면, 근계

 

및 무게 공간

 

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 근들을 다음과 같은 두 종류로 분류할 수 있다.

  •  에서 값이 0인 근.
  •  에서 값이 0이 아닌 근. 이 위에는 갈루아 군  작용한다.

그렇다면,  사타케 도표 딘킨 도표에 다음과 같은 추가 구조를 더한 것이다.

  •  에서 값이 0인 근에 대응되는 꼭짓점은 검게 칠한다.
  •  에서 값이 0이 아닌 근에 대응되는 꼭짓점은 희게 칠한다.
  • 갈루아 군의 작용에 대하여 같은 궤도에 있는 두 흰 꼭짓점은 화살표로 잇는다.

보다 일반적으로, 임의의 체 위에 정의된 가약군에 대하여 사타케 도표를 정의할 수 있다. 이 경우, 흰 꼭짓점 위에는 해당 체의 절대 갈루아 군이 작용하게 된다.

편집

콤팩트 실수 반단순 리 대수의 사타케 도표에서는 모든 꼭짓점이 검다.

분할 실수 반단순 리 대수의 사타케 도표에서는 모든 꼭짓점이 희며, 아무런 화살표도 없다 (즉, 갈루아 군의 작용은 항등 함수이다).

역사편집

사타케 이치로(일본어: 佐武 一郎 (さたけ いちろう), 1927〜2014)가 1960년에 도입하였다.[2]

각주편집

  1. Wisser, Florian (2001년 6월). “Classification of complex and real semisimple Lie algebras” (PDF) (영어). 
  2. Satake, Ichirô (1960). “On representations and compactifications of symmetric Riemannian spaces”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 71: 77–110. doi:10.2307/1969880. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969880. MR 0118775.