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실수 항등 함수의 그래프

수학에서, 항등 함수(恒等函數, 영어: identity function) 또는 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity map), 항등 변환(恒等變換, 영어: identity transformation)은 정의역공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다.

정의편집

집합  항등 함수  는 다음과 같은 함수이다.

  •  
  • 임의의  에 대하여,  

성질편집

임의의 함수  에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

 

즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히,  자기 함수의 집합  함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다.

증명:

임의의  에 대하여,

 

이므로,

 

이다. 마찬가지로 임의의  에 대하여,

 

이므로,

 

이다.

임의의 함수  에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.

  •  전단사 함수이다.
  • 다음을 만족시키는 함수  가 존재한다. (이를  역함수라고 한다.)
    •  
    •  

즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히,  의 자기 전단사 함수의 집합  은 함수의 합성에 대하여 을 이루며, 이를  대칭군이라고 한다.

편집

양의 정수의 집합  의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.

실수의 집합  의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.

관련 개념편집

(범주의 대상의) 항등 사상편집

범주  의 각 대상  에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상  가 존재하며, 이를  항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)이라고 한다.

  •  
  • 모든 대상   및 사상  에 대하여,  
  • 모든 대상   및 사상  에 대하여,  

증명 ( 의 존재와 유일성):

범주의 정의에 따라 이러한 사상은 적어도 하나 존재한다.

이제, 사상  가 모두 위 세 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면 특히

 

이므로, 이러한 사상은 많아야 하나 존재한다.

이 두 가지에 따라, 위 세 조건을 만족시키는 사상은 유일하게 존재한다.

항등 함자편집

범주  항등 함자(恒等函子, 영어: identity functor)  는 다음과 같은 함자이다.

  •  
  • 모든 대상  에 대하여,  
  • 모든 대상   및 사상  에 대하여,  

만약  작은 범주일 경우, 항등 함자  는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 ( 는 함자):

모든 대상  에 대하여

 

이며, 모든 대상   및 사상   에 대하여

 

이므로,  는 (공변) 함자이다.

항등 자연 변환편집

함자  항등 자연 변환(恒等自然變換, 영어: natural transformation)  는 다음과 같은 자연 변환이다.

  •  
  • 모든 대상  에 대하여,  

만약   가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환     사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 ( 는 자연 변환):

모든 대상   및 사상  에 대하여,

 

이므로,  는 자연 변환이다.

같이 보기편집

외부 링크편집