삼각 적분 함수 (영어 : Trigonometric integrals )은 삼각 함수 의 변형의 적분들을 묶어서 말하는 것이다. 일반적인 삼각 함수의 적분은 적분표 에서 볼 수 있으나 약간만 변형해도 비초등함수 가 됨이 알려져 있다.
Si(x) (파랑), Ci(x) (녹색)의 그래프
쌍곡사인 적분 함수는 다음과 같이 정의된다.
S
h
i
(
x
)
=
∫
0
x
sinh
t
t
d
t
=
s
h
i
(
x
)
.
{\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}
그리고 이 함수의 테일러 급수 는 다음과 같다.
S
h
i
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
2
(
2
n
)
!
=
x
+
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
+
x
7
7
!
⋅
7
+
⋯
.
{\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}(2n)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}+{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+\cdots .}
쌍곡 코사인 적분함수는 다음과 같이 정의된다.
C
h
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cosh
t
−
1
t
d
t
=
c
h
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}
여기서
γ
{\displaystyle \gamma }
오일러-마스케로니 상수 이다.
아래의 함수는 지수 적분 함수 라고 불리며
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
exp
(
−
z
t
)
t
d
t
(
R
e
(
z
)
≥
0
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(z)\geq 0)}
Si 와 Ci와 관련이 있다.:
E
1
(
i
x
)
=
i
(
−
π
2
+
S
i
(
x
)
)
−
C
i
(
x
)
=
i
s
i
(
x
)
−
c
i
(
x
)
(
x
>
0
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}
x에 음수를 넣지 않는한, 두 함수는 해석적이다. 유효한 구간의 면적은 x의 실수부가 양수인
R
e
(
x
)
>
0
{\displaystyle {\rm {Re}}(x)>0}
π
{\displaystyle \pi }
일반화된 지수 적분 함수에 허수를 대입했을 때는 다음과 같다.
∫
1
∞
cos
(
a
x
)
ln
x
x
d
x
=
−
π
2
24
+
γ
(
γ
2
+
ln
a
)
+
ln
2
a
2
+
∑
n
≥
1
(
−
a
2
)
n
(
2
n
)
!
(
2
n
)
2
,
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}},}
이것은 아래 식의 실수부이다.
∫
1
∞
e
i
a
x
ln
x
x
d
x
=
−
π
2
24
+
γ
(
γ
2
+
ln
a
)
+
ln
2
a
2
−
π
2
i
(
γ
+
ln
a
)
+
∑
n
≥
1
(
i
a
)
n
n
!
n
2
.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i(\gamma +\ln a)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}.}
비슷하게
∫
1
∞
e
i
a
x
ln
x
x
2
d
x
=
1
+
i
a
[
−
π
2
24
+
γ
(
γ
2
+
ln
a
−
1
)
+
ln
2
a
2
−
ln
a
+
1
−
i
π
2
(
γ
+
ln
a
−
1
)
]
+
∑
n
≥
1
(
i
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
n
2
.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}dx=1+ia[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1-{\frac {i\pi }{2}}(\gamma +\ln a-1)]+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}.}
틀:AS ref Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), 〈Section 6.8.2. Cosine and Sine Integrals〉 , 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》 3판, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 원본 문서 에서 보존된 문서, 2013년 2월 23일에 확인함 Temme, N. M. (2010), 〈Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals〉 , Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., 《NIST Handbook of Mathematical Functions 》, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Mathar, R. J. (2009). “Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(iπ x )·x 1/x between 1 and ∞”. arXiv :0912.3844 . Sine Integral Taylor series proof. Archived 2015년 11월 5일 - 웨이백 머신 
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}dx=1+ia[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1-{\frac {i\pi }{2}}(\gamma +\ln a-1)]+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8666262b097e62fcacf488d5c393453f23ccd9ce)