적분표

적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 유용하게 사용된다.

아래의 식들에서 C는 적분 상수이다.

일반적인 적분 규칙

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left[f'(x)\left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C$

$\int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C$

적분표

아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다.

• 유리함수 적분표
• 무리함수 적분표
• 삼각함수 적분표
• 역삼각함수 적분표
• 쌍곡선함수 적분표
• 역쌍곡선함수 적분표
• 지수함수 적분표
• 로그함수 적분표
• 가우스함수 적분표

간단한 함수의 적분

유리함수

• $\int a\,dx=ax+C$
• $\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$
• $\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$
• $\int {1 \over x}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C$
• $\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$
• $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan {x}+C$

무리함수

• $\int {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {x}+C$
• $\int {-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arccos {x}+C$
• $\int {1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx={\mbox{arcsec}}\,{x}+C$

로그함수

• $\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$
• $\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$

지수함수

• $\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
• $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

삼각함수

• $\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$
• $\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$
• $\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$
• $\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$
• $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$
• $\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

• $\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
• $\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
• $\int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C$
• $\int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C$

• $\int \sin ^{n}x\,dx={-{\frac {\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx}+C$
• $\int \cos ^{n}x\,dx={{\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx}+C$
• $\int \sec ^{n}x\,dx={{\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx}+C$
• $\int \csc ^{n}x\,dx={{\frac {\csc ^{n-2}x\cot x}{-(n-1)}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}x\,dx}+C$

쌍곡선함수

• $\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$
• $\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$
• $\int \tanh x\,dx=\ln(\cosh x)+C$
• $\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$
• $\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$
• $\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

정적분

어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

• $\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$
• $\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

외부 링크

• Paul's Online Math Notes
• A. Dieckmann, Table of Integrals: Indefinite Integrals Definite Integrals
• Math Major: A Table of Integrals
• O'Brien, Francis J. Jr. “500개의 초등•특수함수 적분표”. 
• Rule-based Integration
• Mathar, Richard J. (2012). “Yet another table of integrals”. arXiv:1207.5845. 
• Victor Hugo Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik
• 울프럼 알파의 적분 예시