적분표

적분(積分)은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 간단하지 않기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 매우 유용하게 사용된다.

식에 나오는 $C$는 적분 상수를 나타낸다.

일반적인 적분 규칙

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left[f'(x)\left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C$

$\int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C$

유리함수

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$

$\int x^{-1}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan {x}+C$

무리함수

$\int {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {x}+C$

$\int {-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arccos {x}+C$

$\int {1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx={\mbox{arcsec}}\,{x}+C$

로그함수

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$

지수함수

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

삼각함수

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C$

$\int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx={-{\frac {\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx}+C$

$\int \cos ^{n}x\,dx={{\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx}+C$

$\int \sec ^{n}x\,dx={{\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx}+C$

$\int \csc ^{n}x\,dx={{\frac {\csc ^{n-2}x\cot x}{-(n-1)}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}x\,dx}+C$

쌍곡선함수

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln(\cosh x)+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

정적분

어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$