미적분학에서 쌍곡 치환(雙曲置換, 영어: hyperbolic substitution)은 쌍곡선 함수를 이용하는 치환 적분 기법의 하나이다.

정의

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쌍곡 치환삼각 치환과 마찬가지로 완전 제곱꼴의 이차식이 나오는 함수를 적분하는 데 사용되는 기법이다. 구체적으로, 유리 함수   이 주어졌을 때, 쌍곡 치환은 다음과 같다.[1]:135, Table 10.1

적분 삼각 치환 쌍곡 치환
     
     
     

더 자세히는 다음과 같다.

적분 쌍곡 치환 사용된 항등식
           
           
    ( 일 경우)        

다음 예시는 쌍곡 치환  를 사용한다 ( ).[2]:481, Example 5[3]:253, 例6.2.15

    (   )
 
 
  (   )

다음 예시는 쌍곡 치환  를 사용한다 ( ).[3]:253, 例6.2.16[4]:27, 例1

    (   )
 
 
  (   )

다음 예시는 쌍곡 치환  를 사용한다.[4]:28, 例3

    (   )
 
  (   )
 
 
 
 
  (   )
 

첫째 및 둘째 예시는 쌍곡 치환이 더 간편하며, 셋째 예시는 삼각 치환이 더 간편하다.

응용

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쌍곡 치환은 다음과 같은 꼴의 적분에서도 사용된다.

 

여기서  은 정수이며,  은 음의 홀수이다. 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.[5]:141

적분 쌍곡 치환
      ( 일 경우)  
    ( 일 경우)  

첫 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.[5]:142, Example 1

 

두 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.[5]:142, Example 2

 

일부 저서에서는 이를 건서 쌍곡 치환(-雙曲置換, 영어: Gunther's hyperbolic substitutions)이라고 부른다.[1]:142, Exercise 11 이 방법은 찰스 건서(영어: Charles O. Gunther)가 《삼각 및 허수 치환 적분》(영어: Integration by Trigonometric and Imaginary Substitutions)이라는 교재에서 처음 공개하였다.[1]:143, Endnote 1[6]

같이 보기

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각주

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  1. Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2. 
  2. Stewart, James (2011). 《Single Variable Calculus: Early Transcendentals》 (영어) 7판. Belmont, CA: Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49867-8. LCCN 2010936598. 
  3. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 
  4. 李中强; 李效民 (1994). “双曲函数及其在积分中的应用”. 《河南电大》 (중국어). 1994년 (1): 26–29. ISSN 1003-1448. 
  5. Viertel, William K. (1965). “Use of Hyperbolic Substitution for Certain Trigonometric Integrals”. 《Mathematics Magazine》 (영어) 38 (3): 141-144. doi:10.2307/2688773. ISSN 0025-570X. JSTOR 2688773. MR 1571522. 
  6. Gunther, Charles O.; Webb, J. Burkitt (1907). 《Integration by trigonometric and imaginary substitution》 (영어). New York: D. Van Nostrand company. LCCN 07040021. 

외부 링크

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