세타 표현

수학에서, 세타 표현(θ表現, 영어: theta representation)은 하이젠베르크 군의, 정칙 함수의 공간 위의 특별한 표현이다. 이 표현에서, 정수 계수 하이젠베르크 군의 작용고정점야코비 세타 함수이다.[1]:5–11, §Ⅰ.3

정의편집

임의의 양의 실수  에 대하여, 복소평면 위에, 다음과 같은 측도를 정의하자.

 

이 측도에 대하여, 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

 

이 내적에 대한 노름이 유한한 정칙 함수들의 복소수 힐베르트 공간 라고 하자.

이제, 임의의  에 대하여,   위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.[1]:6

 
 
 

이들은 다음과 같은 교환 관계를 갖는다.

 
 
 

물론,    와 교환한다. 특히, 만약  일 때  가 된다.

이에 따라, 집합

 

을 이룬다.

 

이 군은  미분 동형이며, 그 범피복군하이젠베르크 군  이다. 즉, 이는   위의, 하이젠베르크 군의 표현을 정의한다. 이를 세타 표현이라고 한다.

성질편집

임의의  의 값에 대하여, 세타 표현은 하이젠베르크 군의 기약 표현이며, 항상 바일 표현유니터리 동치이다.

 는 다음과 같은 부분군을 갖는다.

 

이는 물론   으로 생성되는 2차 자유 아벨 군이다.

 

이는 다음과 같은 가환 그림을 갖는다.

 

 작용고정점은 1차원 복소수 벡터 공간이며, 그 기저는 야코비 세타 함수

 

이다.

역사편집

데이비드 멈퍼드가 1983년에 도입하였다.[1]:5–11, §Ⅰ.3

참고 문헌편집

  1. Mumford, David (1983). 《Tata lectures on theta Ⅰ》. Progress in Mathematics (영어) 28. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4899-2843-6. ISBN 3-7643-3109-7.