힐베르트 공간
정의편집
가 또는 라고 하자. -힐베르트 공간 은 완비 거리 공간을 이루는 -내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.
이와 동치로, -힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, 영어: parallelogram identity)을 만족시키는 -바나흐 공간 으로 정의할 수 있다.
이 경우, 내적 구조는
가 된다.
분류편집
힐베르트 공간 의 정규 직교 기저 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
- 모든 에 대하여,
- 다음 집합은 속의 조밀 집합이다.
초른의 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 이라고 한다.
일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.
두 -힐베르트 공간 , 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, -힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]
- 는 분해 가능 공간이다.
- 이다.
성질편집
예편집
가 또는 라고 하고, 가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L2 공간 는 -힐베르트 공간을 이룬다.[1]
만약 가 셈측도가 부여된 집합이라면
이며, 함수
는 의 정규 직교 기저를 이룬다.
만약 가 분해가능 시그마 대수( 로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, 는 분해 가능 공간이다.[1]
응용편집
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분방정식 이론에서 널리 쓰인다.
양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 힐베르트 공간으로 나타내어진다. 이 밖에도, 신호처리에도 힐베르트 공간이 응용된다.
역사편집
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 을 정의하였다.[2] 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만[3] 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.
각주편집
- ↑ 가 나 다 라 Tao, Terrence. 《Epsilon of Room, I: Real Analysis: pages from year three of a mathematical blog》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 117. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5278-1.
- ↑ Hilbert, David (1912). 《Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen》. Fortschr. d. math. Wissensch. in Monographien hrsgb. von O. Blumenthal (독일어) 3. B. G. Teubner. JFM 43.0423.01.
- ↑ von Neumann, J. (1929). “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 102: 49–131. doi:10.1007/BF01782338. ISSN 0025-5831. JFM 55.0824.02.
참고 문헌편집
- Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.
- Reed, Michael C.; Barry Simon (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.
- Halmos, Paul (1982). 《A Hilbert space problem book》 (영어). Springer. ISBN 0-387-90685-1.
- Young, Nicholas (1988). 《An introduction to Hilbert space》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-33071-8. Zbl 0645.46024.
외부 링크편집
- “Hilbert space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Hilbert space”. 《nLab》 (영어).
- “Separable Hilbert space”. 《nLab》 (영어).