힐베르트 공간

함수해석학에서, 힐베르트 공간(Hilbert空間, 영어: Hilbert space)은 모든 코시 열의 극한이 존재하는 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

정의

$K$가 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$라고 하자. $K$-힐베르트 공간 $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$은 완비 거리 공간을 이루는 $K$-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, $K$-힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, 영어: parallelogram identity)을 만족시키는 $K$-바나흐 공간 $({\mathcal {H}},\|\cdot \|)$으로 정의할 수 있다.

$\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})\qquad \forall u,v\in {\mathcal {H}}$

이 경우, 내적 구조는

$\langle u,v\rangle ={\begin{cases}{\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)&K=\mathbb {R} \\{\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}\right)&K=\mathbb {C} \\\end{cases}}$

가 된다.

분류

힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 정규 직교 기저 $B\subset {\mathcal {H}}$는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.

• 모든 $e,e'\in B$에 대하여,

$\langle e,e'\rangle ={\begin{cases}0&e\neq e'\\1&e=e'\end{cases}}$

• 다음 집합은 ${\mathcal {H}}$ 속의 조밀 집합이다.

$\operatorname {Span} B=\left\{a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}|n\in \mathbb {N} ,\;e_{1},\dots ,e_{n}\in B,\;a_{1},\dots ,a_{n}\in K\right\}\subset {\mathcal {H}}$

초른의 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 $\dim {\mathcal {H}}$이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 $\operatorname {Span} B={\mathcal {H}}$를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 $\operatorname {Span} B$가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 $K$-힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$, ${\mathcal {H}}'$ 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:1.4.19–1.4.21}

• $\dim {\mathcal {H}}=\dim {\mathcal {H}}'$
• ${\mathcal {H}}$와 ${\mathcal {H}}'$ 사이에 유니터리 변환 $U\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}'$이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.

따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, $K$-힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:1.4.23

• ${\mathcal {H}}$는 분해 가능 공간이다.
• $\dim {\mathcal {H}}\leq \aleph _{0}$이다.

즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 $\aleph _{0}$이다.

성질

리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$는 스스로의 연속 쌍대 공간 ${\mathcal {H}}^{*}$와 동형이며, 만약 $K=\mathbb {R}$일 경우 이는 표준적(영어: canonical) 동형이다.

예

$K$가 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$라고 하고, $(X,{\mathcal {F}},\mu )$가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L² 공간 $L^{2}(X,K)$는 $K$-힐베르트 공간을 이룬다.^:1.4.9

만약 $X$가 셈측도가 부여된 집합이라면

$\dim L^{2}(X,K)=|X|$

이며, 함수

$f_{x}\colon X\to K\qquad (x\in X)$

$f_{x}(y)={\begin{cases}1&x=y\\0&x\neq y\end{cases}}$

는 $L^{2}(X,K)$의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 ${\mathcal {F}}$가 분해가능 시그마 대수($d(A,B)=\mu (A\setminus B\cup B\setminus A)$로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 $X$가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, $L^{2}(X,K)$는 분해 가능 공간이다.^:1.3.9

응용

힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분방정식 이론에서 널리 쓰인다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 힐베르트 공간으로 나타내어진다. 이 밖에도, 신호처리에도 힐베르트 공간이 응용된다.

역사

다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

참고 문헌

• Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004. 
• Reed, Michael C.; Barry Simon (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001. 
• Halmos, Paul (1982). 《A Hilbert space problem book》 (영어). Springer. ISBN 0-387-90685-1. 
• Young, Nicholas (1988). 《An introduction to Hilbert space》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-33071-8. Zbl 0645.46024. 

외부 링크

• “Hilbert space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hilbert space”. 《nLab》 (영어). 
• “Separable Hilbert space”. 《nLab》 (영어).