순서수 정의 가능 집합

집합론에서, 순서수 정의 가능 집합(順序數定義可能集合, 영어: ordinal-definable set)은 유한 개의 순서수를 포함하는 1차 논리 공식으로 정의할 수 있는 집합이다.

정의편집

다음 성질을 만족시키는 집합  순서수 정의 가능 집합이라고 한다.

  • 순서수   및 순서수의 유한열   개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식  이 존재하며,  이다.

순서수 정의 가능 집합의 고유 모임 라고 한다.

계승적 순서수 정의 가능 집합(繼承的順序數定義可能集合, 영어: hereditarily ordinal-definable set)은 모든 부분집합이 계승적 순서수 정의 가능 집합인 순서수 정의 가능 집합이다. 계승적 순서수 정의 가능 집합의 고유 모임 라고 한다.

성질편집

계승적 순서수 정의 가능 집합의 고유 모임선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론모형이다. (계승적) 순서수 정의 가능 집합의 성질은 절대적이지 않다. 즉, 순서수 정의 가능 집합이 내부 모형에서는 더 이상 순서수 정의 가능하지 않을 수 있다.

만약 구성 가능성 공리를 가정한다면, 모든 집합은 계승적 순서수 정의 가능 집합이다.

모든 집합이 (계승적) 순서수 정의 가능 집합이라는 공리는 보통   또는  로 쓴다. 이 공리는 (구성 가능성 공리와 달리) 거의 모든 알려진 큰 기수 공리와 무모순적이며, 또한 선택 공리를 함의한다.[1]

역사편집

쿠르트 괴델이 1946년에 도입하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Mycielski, Jan (2006년 2월). “A system of axioms of set theory for the rationalists” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (2): 206–213. Zbl 1102.03050. 
  2. Gödel, Kurt (1946). 〈Remarks before the Princeton Bicentennial Conference on Problems in Mathematics〉. Solomon Feferman, John Dawson, Stephen Kleene. 《Kurt Gödel: Collected Works, vol. II》 (영어). Oxford University Press. 150–153쪽.