구성 가능 전체

집합론에서 구성 가능 전체(構成可能全體, 영어: constructible universe)는 재귀적으로 1차 논리로 정의 가능한 집합들로 구성된 모임이다. 구성 가능 전체는 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형을 이루며, 그 속에는 선택 공리 · 일반화 연속체 가설 · 다이아몬드 원리와 같은 여러 명제들이 성립한다. 구성 가능성 공리(構成可能性公理, 영어: axiom of constructibility, 기호 $V=L$)는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다.

정의

모임 $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1항 관계 ${\mathsf {A}}_{1}(-),\dots ,{\mathsf {A}}_{n}(-)$가 추가된 언어 ${\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}$의 모형 $\langle X,\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}\rangle$를 생각하자. 이 모형에서 ${\mathsf {A}}_{i}(x)$의 해석은 $x\in A_{i}$이며, $x\in y$의 해석은 표준적이다 (즉, 추이적 모형이다).

그렇다면, 집합 $X$의 $(A_{1},\dots ,A_{n})$-구성 가능 멱집합(-構成可能冪集合, 영어: $(A_{1},\dots ,A_{n})$-constructible power set) $\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}(X)$는 유한 개의 매개 변수를 이용하여 ${\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}$ 언어의 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 $X$의 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 관계 $\in$ 및 1항 관계 ${\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}$에 대한, $n+1$개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 $\phi \in {\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}$ 및 $x_{1},\dots ,x_{n}\in X$에 대하여, 다음과 같다.

$\operatorname {Def} (X)=\left\{\{y\in X\colon \langle X,\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}\rangle \models \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})\}\colon \phi \in {\mathcal {L}}_{\in },\;x_{1},\dots ,x_{n}\in X\right\}$

정의 가능 멱집합 연산 $\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}$은 집합을 그 멱집합의 부분 집합으로 대응시키며, 따라서 누적 위계를 정의한다.

추이적 집합 $X$가 주어졌을 때, $\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}$에 의하여 정의되는 누적 위계를 $L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)$로 표기하며, 구성 가능 위계(영어: constructible hierarchy)라고 한다. 흔히 $X=\varnothing$일 경우 $L[A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}](\varnothing )=L$로 표기하며, $n=0$일 경우 흔히 $L(X)$로 표기한다. (일부 문헌에서는 $L(X)$를 대신 $L(\{X\}\cup X)$로 정의한다. 물론, 만약 $X\in L$이라면 이는 차이가 없다.) $L$의 원소를 구성 가능 집합(構成可能集合, 영어: constructible set)이라고 한다.

$L(-)$과 $L[-]$의 차이에 대하여 가나모리 아키히로는 다음과 같이 적었다.

“	$L(A)$는 생성 집합으로 모형을 구성하는 대수학적 아이디어를 실현하며, $L[A]$는 $A$를 술어로 간주하여 모형을 구성하는 아이디어를 실현한다. While $L(A)$ realizes the algebraic idea of building up a model starting from a basis of generators, $L[A]$ realizes the idea of building up a model using $A$ construed as a predicate.	”
	— :235

성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

일반적으로 다음이 성립한다.

$\operatorname {Def} (X)\subseteq \operatorname {Def} _{A}(X)\subseteq {\mathcal {P}}(X)$

물론, 만약 $A\cap X\in \operatorname {Def} (X)$라면

$\operatorname {Def} _{A}(X)=\operatorname {Def} (X)$

이다.

항상

$\{Y\subseteq X\colon |Y|<\aleph _{0}\}\subseteq \operatorname {Def} (X)$

$\{Y\subseteq X\colon |X\setminus Y|<\aleph _{0}\}\subseteq \operatorname {Def} (X)$

이다. 특히, 만약 $X$가 유한 집합이라면 임의의 $A$에 대하여

$\operatorname {Def} (X)=\operatorname {Def} _{A}(X)={\mathcal {P}}(X)$

이다.

$\operatorname {Def} (X)$ 및 $\operatorname {Def} _{A}(X)$는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있어, ${\mathcal {P}}(X)$의 부분 불 대수를 이룬다.

구성 가능 전체

항상 다음이 성립한다.

$X\subseteq L(X)$

그러나 $X\in L(X)$일 필요는 없으며, $A\subseteq L[A]$이거나 $A\in L[A]$일 필요는 없다.

각 순서수 $\alpha$에 대하여

$L_{\alpha }\subseteq V_{\alpha }$

$L_{\alpha }\subseteq L_{\alpha }(A)[X]$

이다. 또한, 만약 $\alpha$가 유한하다면 $L_{\alpha }=V_{\alpha }$이다.

구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, $V=L$이라는 명제이다 ($V$는 폰 노이만 전체). 즉, 구성 가능성 공리에 따르면 임의의 집합 $S$에 대하여 $S\in L_{\alpha }$인 순서수 $\alpha$가 존재한다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 $\alpha$에 대하여 $\alpha =\aleph _{\alpha }$라면,

$L_{\alpha }=V_{\alpha }$

이다. (예를 들어, 이는 $\alpha$가 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)

모형 이론적 성질

$L$은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 $V$의 내부 모형이다. 특히, $V$에서 선택 공리가 성립하지 않아도, $L$은 선택 공리를 만족시킨다. 이는 $L$은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, $L_{\alpha }$의 정렬 순서가 주어졌다면, $L_{\alpha +1}$의 원소는 $L_{\alpha }$의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다.

또한, $L$에서는 다음 명제들이 성립한다. (따라서 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리는 아래 명제들을 함의한다.)

• 선택 공리
• 일반화 연속체 가설 ${\mathsf {GCH}}$
• 구성 가능성 공리 $V=L$
• 수슬린 가설의 부정 $\lnot {\mathsf {SH}}$
• 모든 화이트헤드 군은 자유 아벨 군
• 모든 집합은 순서수 정의 가능 집합 $V={\mathsf {HOD}}$
• 다이아몬드 원리 $\diamondsuit$
• $0^{\#}$의 부재 (또한 그보다 더 강한 큰 기수의 부재)
• 르베그 가측 집합이 아닌 해석적 집합의 존재

$L$은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다.

• $V$의 내부 모형이다.
• 모든 순서수들을 포함한다.

다시 말해, 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 선택 공리를 비롯한 위 명제들을 증명할 수 있다. 특히, 구성 가능성 공리가 큰 기수들의 존재와 모순되기 때문에, 플라톤주의적 수리철학 아래 보통 구성 가능성 공리는 집합론의 공리로 가정되지 않는다. 이에 대하여 퍼넬러피 매디(영어: Penelope Maddy)는 다음과 같이 적었다.

“	[…] $0^{\#}$는 어디서, 왜 $L$이 잘못되는지에 대한 자세한 이론을 제공한다. 실버 [$0^{\#}$의 존재가 $V\neq L$를 함의함을 증명한 수학자] 이전에도 많은 수학자들은 $V\neq L$이라고 믿었지만, 실버 이후 이들은 왜 이들이 이러한 믿음을 가지는지 알게 되었다. […] $0^{\#}$ yields a rich explanatory theory of exactly where and why $L$ goes wrong. Before Silver, many mathematicians believed that $V\neq L$, but after Silver they knew why.	”
	— :506, §IV

마찬가지로, 이에 대하여 가나모리 아키히로와 메나헴 마기도르는 다음과 같이 적었다.

“	따라서, 충분히 큰 기수가 존재한다고 가정하면, $L$의 균등 생성에 대한 다양한 강한 내재적 구조적 묘사가 가능하며, 이에 따라 $L$은 매우 얇은 내적 모형임을 알 수 있다 — 헐벗은 폐허의 성가대석(聖歌隊席)들이 달라붙은 가냘픈 생명선(生命線, 즉 순서수의 모임)에 불과하다. Thus, in the presence of a suitably large cardinal in the universe, many strong results about the uniform generation of L now follow from this intrinsic structural characterization, and L takes on the character of a very thin inner model indeed, bare ruined choirs appended to the slender life-giving spine which is the class of ordinals.	”
	— :131, §7

역사

1935년 가을에 쿠르트 괴델이 구성 가능 전체 $L$을 도입하였으며,^{:270, §4.9:280, §4.10} 이를 통하여 이 선택 공리 및 일반화 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 증명하였다. 이 결과는 1938년에 출판되었다.^:234

$L(X)$는 1956년에 허이널 언드라스(헝가리어: Hajnal András, 1931~)가 도입하였으며,^:234 $L[A]$는 1957년에 아즈리엘 레비가 도입하였다.^:235

이후 1972년에 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen)이 구성 가능 전체의 미세 구조(영어: fine structure)의 이론을 젠슨 위계(영어: Jensen hierarchy)를 통해 정립하였다.

참고 문헌

• Devlin, Keith J. (1984). 《Constructibility》. Perspectives in Mathematical Logic (영어) 6. Springer-Verlag. ISBN 3-540-13258-9. MR 0750828. Zbl 0542.03029. 
• Devlin, Keith J. (1977). 《The axiom of constructibility: a guide for the mathematician》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 617. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0070208. ISBN 978-3-540-08520-1. ISSN 0075-8434. 
• Devlin, Keith J. (1973). 《Aspects of constructibility》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 354. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0059290. ISBN 978-3-540-06522-7. ISSN 0075-8434. 
• Devlin, Keith J. (1974). 〈An introduction to the fine structure of the constructible hierarchy〉. Fenstad, J. E.; Hinman, P. G. 《Generalized recursion theory: proceedings of the 1972 Oslo symposium》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 79. Elsevier. 123–163쪽. doi:10.1016/S0049-237X(08)70585-8. ISBN 978-0-444-10545-5. 
• Stanley, Lee (1983). 〈A short course on gap-one morasses with a review of the fine structure of L〉. A. R. D. Mathias. 《Surveys in Set Theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 87. 197–244쪽. doi:10.1017/CBO9780511758867.008. ISBN 978-0-52127733-4. MR 0823781. Zbl 0538.03041. 
• Hamkins, Joel David (2014년 1월). 〈A multiverse perspective on the axiom of constructibility〉. Chong, Chitat; Feng, Qi; Slaman, Theodore A.; Woodin, W. Hugh. 《Infinity and truth》. Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore (영어) 25. World Scientific. 25–45쪽. arXiv:1210.6541. Bibcode:2012arXiv1210.6541H. doi:10.1142/9789814571043_0002. ISBN 978-981-4571-03-6. MR 3205072. 

외부 링크

• “Gödel constructive set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Constructible universe”. 《nLab》 (영어). 
• “Constructible set”. 《nLab》 (영어). 
• “Gödel's constructible universe in infinitary logics” (영어). Math Overflow. 
• “Constructible universe within constructible universe” (영어). Math Overflow.