쉴로브 기저

군론에서, 쉴로브 기저(Sylow基底, 영어: Sylow basis)는 어떤 군 속의, 서로 (집합으로서) 가환하는, 각 소수에 대한 쉴로브 부분군들의 족이다. 쉴로브 기저의 존재는 유한군가해군인 것과 동치이며, 만약 존재한다면 쉴로브 기저는 켤레 아래 유일하다.

정의편집

소수의 집합을

 

로 표기하자.

 쉴로브 기저는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  •  

유한군  홀 부분군(영어: Hall subgroup)은 다음 성질을 만족시키는 부분군  이다.

  •   서로소이다.

소수의 집합  가 주어졌을 때, 유한군   -부분군(영어: Hall  -subgroup)은 다음 성질을 만족시키는 부분군  이다.

  •  의 모든 소인수는  에 속하며,  의 모든 소인수는  에 속한다.

만약 유한군의 쉴로브 기저  소수집합  이 주어졌을 때,

 

 의 홀  -부분군이다.

성질편집

존재편집

유한군  에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.

  •  가해군이다.
  • 임의의  에 대하여, 홀  -부분군이 존재한다.
  • 임의의  에 대하여, 홀  -부분군이 존재한다.
  • 쉴로브 기저가 존재한다.

유일성편집

유한 가해군  의 임의의 두 쉴로브 계는 서로 켤레 동치이다. 즉, 임의의 두 쉴로브 기저  ,  에 대하여,

 

 가 존재한다.

슈어-차센하우스 정리편집

임의의 유한군  정규 홀 부분군  에 대하여, 슈어-차센하우스 정리(Schur-Zassenhaus定理, 영어: Schur–Zassenhaus theorem)에 따르면,

 
 

부분군  이 존재한다.

역사편집

필립 홀이 1928년에 가해군에 대한 쉴로브 기저의 존재 및 켤레 아래 유일성을 증명하였다.[1]

슈어-차센하우스 정리는 이사이 슈어가 증명하였으며, 한스 차센하우스의 1937년 군론 교재에 최초로 등장하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Hall, Philip (1928). “A note on soluble groups”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 3 (2): 98–105. doi:10.1112/jlms/s1-3.2.98. JFM 54.0145.01. MR 1574393. 
  2. Zassenhaus, Hans (1937). 《Lehrbuch der Gruppentheorie》. Hamburger Mathematische Einzelschriften (독일어) 21. Teubner. 

외부 링크편집