슈바르츠 보조정리

복소해석학에서 슈바르츠 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz lemma)는 푸앵카레 원판 위의 정칙 함수의 성질을 다루는 보조정리이다.

정의

열린 단위 원판 $\operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C}$ 위의 정칙 함수 $f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)$가 $f(0)=0$을 만족시킨다고 하자. 슈바르츠 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.

• 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여, $|f(z)|\leq |z|$이다.
• $|f'(0)|\leq 1$
• 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • $|f(z)|=|z|$인 $0\neq z\in \operatorname {B} (0,1)$가 존재하거나, $|f'(0)|=1$이다.
  • 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여 $f(z)=az$이다. 여기서 $a\in \mathbb {C}$는 $|a|=1$인 상수이다. (즉, $f$는 $\operatorname {B} (0,1)$ 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.

증명

함수 $g\colon \operatorname {B} (0,1)\to \mathbb {C}$를 다음과 같이 정의하자.

$g(z)={\begin{cases}f(z)/z&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)$

그렇다면, $g$는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$ 및 $|z|<r<1$에 대하여,

$|g(z)|\leq \sup _{|w|=r}|g(w)|\leq {\frac {1}{r}}$

이며, 따라서

$|g(z)|\leq \lim _{r\to 1^{-}}{\frac {1}{r}}=1$

이다. 즉, $z\neq 0$일 경우 $|f(z)|\leq |z|$이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 $|f'(0)|\leq 1$이다.

만약 $|f(z)|=|z|$인 $0\neq z\in \operatorname {B} (0,1)$가 존재하거나, $|f'(0)|=1$이라면, $|g|$는 $\operatorname {B} (0,1)$에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여 $g(z)=a$인 $a\in \mathbb {C}$가 존재하며, $|a|=1$이다. 즉, 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여, $f(z)=az$이다.

만약 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여 $f(z)=az$이며, $a\in \mathbb {C}$가 $|a|=1$인 상수라면, 자명하게 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여 $|f(z)|=|z|$이며, 또한 $|f'(0)|=1$이다.

따름정리

단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류

열린 단위 원판 $\operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C}$ 위의 쌍정칙 함수 $f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f$는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다.

$f(z)=a{\frac {z-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)$

여기서 $a,z_{0}\in \mathbb {C}$는 $|a|=1$이며 $|z_{0}|<1$인 상수이다.

단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명

이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 $\varphi _{f(0)}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)$를 다음과 같이 정의하자.

$\varphi _{f(0)}(z)={\frac {z-f(0)}{1-{\overline {f(0)}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)$

이는 $\operatorname {B} (0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, $\varphi _{f(0)}(f(0))=0$이다. 따라서,

$g=\varphi _{f(0)}\circ f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)$

는 $\operatorname {B} (0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, $g(0)=0$이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,

$1\leq {\frac {1}{|(g^{-1})'(0)|}}=|g'(0)|\leq 1$

이므로, $|g'(0)|=1$이다. 따라서, 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여 $g(z)=az$인 $a\in \mathbb {C}$가 존재하며, $|a|=1$이다. 즉, $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여,

$f(z)=\varphi _{f(0)}^{-1}(g(z))=a{\frac {z+f(0)a^{-1}}{1+{\overline {f(0)}}az}}$

이다. 즉, $z_{0}=-f(0)a^{-1}$를 취하면 된다.

슈바르츠-픽 보조정리

열린 단위 원판 $\operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C}$ 위의 정칙 함수 $f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)$가 주어졌다고 하자. 슈바르츠-픽 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz-Pick lemma)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 임의의 $z,w\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여,

  $\left|{\frac {f(z)-f(w)}{1-{\overline {f(z)}}f(w)}}\right|\leq \left|{\frac {z-w}{1-{\bar {z}}w}}\right|$

• 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여,

  $|f'(z)|\leq {\frac {1-|f(z)|^{2}}{1-|z|^{2}}}$

• 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z,w\in \operatorname {B} (0,1)$이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z\in \operatorname {B} (0,1)$이 존재한다.
  • 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여 $f(z)=a(z-z_{0})/(1-{\overline {z_{0}}}z)$이다. 여기서 $a,z_{0}\in \mathbb {C}$는 $|a|=1$이고 $|z_{0}|<1$인 상수이다. (즉, $f$는 $\operatorname {B} (0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리

$d(z,w)=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z-w}{1-{\bar {z}}w}}\right|$

를 증가시키지 않는다.

슈바르츠-픽 보조정리의 증명

임의의 $w\in \operatorname {B} (0,1)$를 취하고, 다음과 같은 함수 $\varphi _{w},\varphi _{f(w)}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)$을 정의하자.

$\varphi _{w}(z)={\frac {z-w}{1-{\bar {w}}z}}$

$\varphi _{f(w)}(z)={\frac {z-f(w)}{1-{\overline {f(w)}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)$

이들은 $\operatorname {B} (0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, $\varphi _{w}(w)=\varphi _{f(w)}(f(w))=0$이므로,

$g=\varphi _{f(w)}\circ f\circ \varphi _{w}^{-1}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)$

는 정칙 함수이며, $g(0)=0$이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 $z\in \operatorname {B} (0,1)$에 대하여,

$|g(\varphi _{w}(z))|\leq |\varphi _{w}(z)|$

$|g'(0)|\leq 1$

이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z,w\in \operatorname {B} (0,1)$이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z\in \operatorname {B} (0,1)$이 존재하는 것은

$g=\varphi _{f(w)}\circ f\circ \varphi _{w}^{-1}$

가 $\operatorname {B} (0,1)$ 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 $f$가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.

역사

독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 땄다.

같이 보기

• 보렐-카라테오도리 정리

외부 링크

• “Schwarz lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Schwarz's lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Schwarz-Pick lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.