푸앵카레 원판

푸앵카레 원판에서의 측지선들.

기하학에서, 푸앵카레 원판(영어: Poincaré disc) 또는 푸앵카레 공(영어: Poincaré ball)은 원판 또는 모양의 쌍곡공간의 모형이다.

역사편집

앙리 푸앵카레의 이름이 붙어 있으나, 사실 에우제니오 벨트라미가 최초로 도입하였다.[1] 벨트라미는 이 모형으로 비유클리드 기하학의 일관성을 증명하였다.

정의편집

n차원 푸앵카레 공은 다음과 같은 계량이 주어진 단위 열린

 

이다. 여기에 주어진 리만 계량은 다음과 같다.

 

구체적으로, 두 점   사이의 거리는 다음과 같다.

 

2차원 푸앵카레 공은 푸앵카레 원판이라고 한다.

성질편집

쌍곡기하학의 기하학적인 개념들은 푸앵카레 공에서 다음과 같이 구현된다.

쌍곡기하학적 개념 푸앵카레 공에서의 구현
무한대 공의 경계  
측지선 공의 경계와 수직으로 교차하는 원호
측지선에 대한 반사 원에 대한 반전

참고 문헌편집

  1. Beltrami, Eugenio (1868). “Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante”. 《Annali. di Mat., ser II》 (이탈리아어) 2: 232-255. 
  • Anderson, James W. (2005). 《Hyperbolic Geometry》 2판. Springer. 

같이 보기편집

외부 링크편집