최대 절댓값 원리

복소해석학에서 최대 절댓값 원리(最大絶大-原理, 영어: maximum modulus principle) 또는 최대 절댓값 정리(最大絶大-定理)는 상수 함수가 아닌 정칙 함수의 절댓값이 극대점을 갖지 않는다는 정리이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$에 정의된 정칙 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$가 상수 함수가 아니라고 하자. 최대 절댓값 원리에 따르면, $|f|$는 극대점을 가지지 않는다. 즉, 임의의 $z\in D$ 및 근방 $N\ni z$에 대하여,

$|f(z)|<\sup _{z'\in N\cap D}|f(z')|$

이다.^{:98-99, §3.4, 정리5}

유계 연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$에 정의된 연속 함수 $f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C}$가 $D$에서 정칙 함수이며, 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, $|f|$의 모든 최대점은 $D$의 경계점이다. 즉, 임의의 $z\in D$에 대하여,

$|f(z)|<\sup _{z'\in \partial D}|f(z')|$

이다. 이는 경계점이 아닌 최대점은 $D$에서의 극대점이기 때문이다.

증명

열린 사상 정리를 통한 증명

열린 사상 정리에 의하여,^:99 임의의 $z\in D$ 및 근방 $N\ni z$에 대하여, $f(N\cap D)$는 열린집합이므로, $f(z)$는 $f(N\cap D)$의 내부점이다. 따라서, $|f(z')|>|f(z)|$인 $z'\in N\cap D$가 존재한다. 즉, $|f(z)|$는 $N\cap D$에서의 최댓값이 아니다.

코시 적분 공식을 통한 증명

귀류법을 사용하여, $z\in D$가 근방 $N\ni z$에서 $|f|$의 최대점이라고 하자.^:134-135

$\{w\in \mathbb {C} \colon |w-z|\leq r\}\subseteq N$

인 $r>0$을 취하자. 코시 적분 공식에 의하여

$f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\mathrm {d} \theta$

이다. 만약

$|f(z)|>|f(z+re^{i\theta })|$

인 $\theta \in [0,2\pi )$가 존재한다면,

$|f(z)|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(z+re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta$

에 모순이므로, 임의의 $\theta \in [0,2\pi )$에 대하여,

$|f(z)|=|f(z+re^{i\theta })|$

이다. 이에 따라, $f$는 상수 함수이며, 이는 모순이다.

따름정리

최대 절댓값 원리는 다음과 같은 명제들을 증명하는 데 쓰인다.

• 대수학의 기본 정리
• 슈바르츠 보조정리
• 보렐-카라테오도리 정리

외부 링크

• “Maximum-modulus principle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximum modulus principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.