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군 표현론에서, 슈어 직교 관계(Schur直交關係, 영어: Schur orthogonality relation)는 유한군이나 보다 일반적으로 콤팩트 위상군에서 성립하는, 표현들의 성분 또는 지표 사이의 일련의 직교 관계에 대한 정리이다.

목차

정의편집

 콤팩트 위상군이라고 하자. 이러한 군은 좌·우 하르 측도가 일치하며, 군의 총 측도가 1이 되게 (즉, 확률 공간이 되게) 규격화할 수 있다.

그렇다면,  의 복소수 연속 기약 표현들의 (동형류의) 집합을  라고 하자. 이들은 연속 군 준동형

 

이며,  는 모두 유한 차원 복소 벡터 공간이다. 또한, 각  에 기저를 주어, 유한 차원 복소 힐베르트 공간으로 만들자.  정규 직교 기저 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

따라서, 지표에 대해서는 다음이 성립한다.

 

유한군에 대한 슈어 직교성편집

 가 (이산 위상의) 유한군이라고 하자. 이 경우, 하르 측도는 셈측도에 비례한다.

이 경우, 다음이 추가로 성립한다. 임의의  에 대하여,

 

여기서  는 군의 원소의 공액류이며,   중심화 부분군  크기이다.

역사편집

이사이 슈어가 유한군에 대하여 증명하였다.

외부 링크편집