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중심화 부분 모노이드

(중심화 부분군에서 넘어옴)

추상대수학에서, 중심화 부분 모노이드(中心化部分monoid, 영어: centralizer (submonoid), commutant)는 어떤 모노이드부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다.

의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 중심화 부분군(中心化部分群, 영어: centralizer (subgroup))이라고 한다. 마찬가지로, 의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer (subring))이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.

목차

정의편집

모노이드  의 부분 집합  중심화 부분 모노이드는 다음과 같은  부분 집합이다.[1]:41, §1.4[2]:AI.7, Définition A1.9

 

이는  부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를  으로 표기한다.)

 이중 중심화 부분 모노이드(영어: double centralizer, bicentralizer, bicommutant)  은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.[2]:AI.8

성질편집

일반적 모노이드  부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

 
 
 [2]:AI.8
 
 
 [2]:AI.7
 

여기서  모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

 

를 이룬다. (여기서  멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며,  은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

이중 중심화 부분 모노이드편집

일반적 모노이드  부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

 
 
 
 
 

이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

 

를 이룬다.

특히, 집합   위에 폐포

 

를 정의하면, 이는   위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

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의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, 중심화 부분군이라고 한다.

 의 부분 집합  의 중심화 부분군은 항상  정규화 부분군정규 부분군이다. 즉, 다음이 성립한다.

 

여기서  군의 중심이며,  정규화 부분군이다.

 의 부분군  의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군 자기 동형군의 부분군과 동형이다. 즉, 다음이 성립한다.

 

여기서  자기 동형군이다. 이를 N/C 정리(영어: N/C theorem)라고 한다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.

 

 의 부분군  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  . 즉,  는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
  •  가 되는 부분 집합  가 존재한다. 즉,  는 중심화 부분군 연산의 에 속한다.

임의의 두 군  ,  군 준동형

 

에 대하여, 반직접곱   및 포함 사상  을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.

 
 

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 의 부분 집합  의 (곱셈에 대한) 가환식  는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer subring)이라고 한다.

임의의 나눗셈환  의 임의의 부분 집합  에 대하여, 중심화 부분환   역시 나눗셈환이다.

증명:

 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의   에 대하여,  이다.

가군편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  
  •  
  •  -쌍가군  

그렇다면,  -오른쪽 가군자기 사상환

 

을 정의할 수 있으며,   -왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 자연스러운 환 준동형

 
 

이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라

 

이다. (여기서 우변은  -오른쪽 가군자기 사상환이다.)

만약  가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약

 

이라면,  균형 잡힌 가군이라고 한다.

폰 노이만 대수편집

복소수 힐베르트 공간   위의 유계 작용소 폰 노이만 대수  의 부분 대합 대수  를 생각하자. (즉,  복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, 폰 노이만 이중 중심화 정리(영어: von Neumann bicommutant theorem)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.

  •  의 이중 중심화 부분환  
  •  약한 작용소 위상에서의 폐포
  •  강한 작용소 위상에서의 폐포
  •  로부터 생성되는 폰 노이만 대수

(다만,  노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

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만약  가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합  에 대하여  이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

만약   로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.

 

사원수 대수  에서,  의 중심화 부분환은  이다. 보다 일반적으로, 임의의  에 대하여,  를 생각하면,  이다. 만약  이라면  는 (으로서) 복소수체와 동형이다.

참고 문헌편집

  1. Jacobson, Nathan (1985). 《Basic algebra I》 (영어) 2판. W. H. Freeman and Company. 
  2. Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson. 

외부 링크편집