스칼라 곱셈

수학에서 스칼라 곱셈(scalar multiplication) 또는 스칼라배(-倍, scalar multiple)는 벡터와 스칼라에 대한 연산이다. 벡터의 길이를 스칼라의 절댓값 배수로 늘이거나 줄이고, 방향은 스칼라가 양수면 그대로, 음수면 정반대를 취한다.

정의

$V$를 노름 벡터 공간, $K$를 스칼라들의 체라고 하자. 스칼라 곱셈은 스칼라 $k$와 벡터 $\mathbf {v}$ 각각 하나로부터 새로운 벡터 $k\mathbf {v}$를 만드는 연산

$\cdot :K\times V\to V$

$(k,\mathbf {v} )\mapsto k\mathbf {v}$

로, 노름에 대해

$|k\mathbf {v} |=|k||\mathbf {v} |$

이고, 방향은

• $k>0$이면, $\mathbf {v}$와,
• $k<0$이면, $-\mathbf {v}$와

같도록 정의된다.

예

몇 가지 특별한 경우는 다음과 같다: 1을 임의의 벡터에 곱하면, 자신과 같은 벡터가 된다. 즉 $1\mathbf {v} =\mathbf {v}$ . 0을 임의의 벡터에 곱하면, 영벡터가 된다. 즉 $0\mathbf {v} =\mathbf {0}$ . -1을 임의의 벡터에 곱하면, 그 벡터의 덧셈 역원이 된다. 즉 $(-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v}$ .