행렬 곱셈

행렬 곱셈(matrix multiplication)은 행렬에 대한 이항연산이다. 벡터의 선형결합 또는 선형사상의 합성 등의 의미를 부여할 수 있다.

정의

A, B를 각각 m × n, n × p 행렬이라고 하자. A와 B의 곱 AB는 다음과 같은 항을 갖는 m × p 행렬로 정의된다.

$(\mathbf {AB} )_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots +A_{in}B_{nj}=\sum _{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$

즉

$\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}\sum _{k=1}^{n}A_{1k}B_{k1}&\sum _{k=1}^{n}A_{1k}B_{k2}&\cdots &\sum _{k=1}^{n}A_{1k}B_{kp}\\\sum _{k=1}^{n}A_{2k}B_{k1}&\sum _{k=1}^{n}A_{2k}B_{k2}&\cdots &\sum _{k=1}^{n}A_{2k}B_{kp}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\sum _{k=1}^{n}A_{mk}B_{k1}&\sum _{k=1}^{n}A_{mk}B_{k2}&\cdots &\sum _{k=1}^{n}A_{mk}B_{kp}\end{pmatrix}}$

좌측 행렬의 열 수와 우측 행렬의 행 수가 서로 같아야, 두 행렬의 곱이 정의된다.

예

행렬 $A={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}$와 $B={\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}$가 있을 때, 이 둘의 곱셈은 다음과 같다.

$A\times B={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ac&ad\\bc&bd\end{bmatrix}}$

$A^{T}\times B^{T}={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=ac+bd$

$B\times A={\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=ca+db$

$B^{T}\times A^{T}={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ca&cb\\da&db\end{bmatrix}}$

행렬 $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$와 $B={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}$가 있을 때, 이 둘의 곱셈은 다음과 같다.

$A\times B={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{bmatrix}}$

성질

행렬 곱셈은 결합법칙이 성립한다:

$(\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} )$

행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.

${AB}\neq {BA}$

하지만,

다만, 특수한 조건을 만족하는 경우에는 교환법칙이 성립한다. 다음과 같은 조건을 만족할 때 행과 열의 개수가 같은 정사각행렬 A와 B에 대해 곱셈의 교환법칙이 성립한다.

$A+B=AB$이면,

$AB=BA$ 이다.

각주

증명주

참조주