행렬 곱셈

행렬 곱셈(matrix multiplication)은 두 개의 행렬에서 한 개의 행렬을 만들어내는 이항연산이다. 이 때 첫째 행렬의 열 개수와 둘째 행렬의 행 개수가 동일해야한다. 곱셈의 결과 새롭게 만들어진 행렬은 행렬곱(matrix product)라 하며, 첫째 행렬의 행 개수와 둘째 행렬의 열 개수를 가진다. 행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱은 간단히 $AB$ 로 나타낸다.^[1]^[2]

벡터의 선형결합 또는 선형사상의 합성 등의 의미를 부여할 수 있다.

행렬 곱셈은 1812년 프랑스의 수학자 자크 비네가 선형 변환의 합성을 표현하고자 처음으로 사용하였다.^[3] 이후 행렬 곱셈은 선형대수학의 기초가 되어 수학, 통계학, 물리학, 경제학, 공학, 컴퓨터 프로그래밍 등의 분야에서 다양하게 응용되고 있다.^[4]^[5]

표기 편집

이 문서에서는 행렬을 굵은 대문자로( $A$ ), 벡터를 굵은 소문자로( $a$ ), 벡터와 행렬의 성분, 또는 요소로 번역되는 entry는 기울임체로( $A$ , $a$ ) 표기한다. 첨자표기법은 가장 일반적인 방식을 따라 행렬 $A$ 의 $i$ 열 $j$ 행 성분은 $(A) ij$ , $A ij$ , $a ij$ 등으로 표시한다. 반면 행렬 성분의 집합은 $A 1, A 2$ 등으로 표시한다.

정의 편집

첫째 행렬의 행과 둘째 행렬의 열이 만나 행렬곱의 성분이형성된다.

$A$ , $B$ 를 각각 $m \times n$ , $n \times p$ 행렬이라고 하자.

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}

행렬곱 $C = AB$ 은 다음의 $m \times p$ 행렬로 정의된다. 단 이때, 곱셈 기호는 따로 쓰지 않는다.^[6]^[7]^[8]^[9]

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}

이 때 $i = 1, ..., m$ , $j = 1, ..., p$ 에 대해 $C$ 의 성분은 다음과 같이 정의된다.

c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},

이는 곧 $A$ 의 $i$ 번째 행과 $B$ 의 $j$ 번째 열의 성분들을 각각 곱해 더한 것과 같은데, 달리 말하면 $A$ 의 $i$ 번째 행과 $B$ 의 $j$ 번째 열의 스칼라곱인 것이다.^[10]

그런고로 $AB$ 는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots +a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots +a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots +a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1p}+\cdots +a_{2n}b_{np}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots +a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}}

이러한 이유로 첫째 행렬의 열 갯수와 둘째 행렬의 행 갯수가 동일해야 행렬곱이 정의될 수 있는 것이다.^[11]

대부분의 경우 행렬의 성분은 숫자이지만, 덧셈과 곱셈이 정의되고, 곱셈의 결합법칙과 덧셈의 교환법칙이 성립하여 곱셈의 분배법칙이 성립하게 되는 다른 수학적 대상들도 성분이 될 수 있다. 가장 대표적인 예시로 성분이 행렬인 블록 행렬을 생각할 수 있다.

응용 범위 편집

선형대수학적 계산을 행렬 곱셈을 통해 더욱 간단하게 할 수 있는데, 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 분야에서 특히 빛을 발한다.

선형 변환 편집

$n$ 차원 열 벡터

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}

를 $n$ 차원 선형 변환 한 것을

\mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}

라 하자. 이 때 선형 변환 $A$ 는 자연스레 다음과 같은 행렬로 정의할 수 있다.

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}

이제 행렬을 사용해 선형변환을 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\mathbf {y} =\mathbf {Ax}

$m$ 차원 벡터 공간을 $p$ 차원 벡터 공간으로 변환하는 선형 변환 $B$ 역시 $p\times m$ 행렬 $\mathbf {B}$ 로 나타낼 수 있다. 이 두 변환을 합성한 결과인 $B\circ A$ 도 행렬곱인 $\mathbf {BA}$ 로 나타낼 수 있다. 행렬 곱셈에서의 결합법칙은 행렬 곱셈 § 결합법칙에서 다룰 것이다.

연립 일차 방정식 편집

연립 일차 방정식의 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}

위의 여러 방정식들을 행렬을 사용하면 다음과 같이 방정식 한 개로 간단히 나타낼 수 있다.

\mathbf {Ax} =\mathbf {b}

성질 편집

행렬 곱셈은 일반적인 산술적 곱셈과 비슷한 성질을 가지지만, 첫째 행렬의 열 갯수와 둘째 행렬의 행 갯수가 동일할 때에만 정의된다는 특징이 있다. 또한 행렬 곱셈이 정의될 때에도 교환법칙이 항상 성립하는 것은 아니라는 점에서 차이가 있다.^[12]^[13]^[14]

${AB}\neq {BA}$

하지만 특수한 조건을 만족하는 경우에는 교환법칙이 성립한다. 다음과 같은 조건을 만족할 때 행과 열의 개수가 같은 정사각행렬 A와 B에 대해 곱셈의 교환법칙이 성립한다.

A+B=AB

이면,

AB=BA

이다.

행렬 곱셈은 결합법칙이 성립한다:

(\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} )

^{[증명 1]}

예 편집

행렬 $A={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}$ 와 $B={\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}$ 가 있을 때, 이 둘의 곱셈은 다음과 같다.

A\times B={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ac&ad\\bc&bd\end{bmatrix}}

A^{T}\times B^{T}={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=ac+bd

B\times A={\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=ca+db

B^{T}\times A^{T}={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ca&cb\\da&db\end{bmatrix}}

행렬 $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ 와 $B={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}$ 가 있을 때, 이 둘의 곱셈은 다음과 같다.

A\times B={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{bmatrix}}

각주 편집

증명주 편집

↑ 각각 $m \times n$ , $n \times p$ , $p \times q$ 행렬이라고 하자. 곱은 결합 방식에 상관없이 $m \times q$ 행렬이며,
$\scriptstyle ((\mathbf {AB} )\mathbf {C} )_{ij}=\sum _{r=1}^{p}\left(\sum _{s=1}^{n}A_{is}B_{sr}\right)C_{rj}=\sum _{s=1}^{n}A_{is}\left(\sum _{r=1}^{p}B_{sr}C_{rj}\right)=(A(BC))_{ij}$

참조주 편집

↑ “Comprehensive List of Algebra Symbols”. 《Math Vault》 (미국 영어). 2020년 3월 25일. 2020년 9월 6일에 확인함.
↑ Nykamp, Duane. “Multiplying matrices and vectors”. 《Math Insight》. 2020년 9월 6일에 확인함.
↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Jacques Philippe Marie Binet”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
↑ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). 《Encyclopaedia of Physics》 2판. VHC publishers. ISBN 978-3-527-26954-9.
↑ Parker, C. B. (1994). 《McGraw Hill Encyclopaedia of Physics》 2판. ISBN 978-0-07-051400-3.
↑ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). 《Linear Algebra》. Schaum's Outlines 4판. McGraw Hill (USA). 30–31쪽. ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). 《Mathematical methods for physics and engineering》. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ Adams, R. A. (1995). 《Calculus, A Complete Course》 3판. Addison Wesley. 627쪽. ISBN 0-201-82823-5.
↑ Horn, Johnson (2013). 《Matrix Analysis》 2판. Cambridge University Press. 6쪽. ISBN 978-0-521-54823-6.
↑ “Comprehensive List of Algebra Symbols”. 《Math Vault》 (미국 영어). 2020년 3월 25일. 2020년 9월 6일에 확인함.
↑ Nykamp, Duane. “Multiplying matrices and vectors”. 《Math Insight》. 2020년 9월 6일에 확인함.
↑ Weisstein, Eric W. “Matrix Multiplication”. 《mathworld.wolfram.com》 (영어). 2020년 9월 6일에 확인함.
↑ Lipcshutz, S.; Lipson, M. (2009). 〈2〉. 《Linear Algebra》. Schaum's Outlines 4판. McGraw Hill (USA). ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ Horn, Johnson (2013). 〈0〉. 《Matrix Analysis》 2판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.

[15] 각각 $m \times n$ , $n \times p$ , $p \times q$ 행렬이라고 하자. 곱은 결합 방식에 상관없이 $m \times q$ 행렬이며,
$\scriptstyle ((\mathbf {AB} )\mathbf {C} )_{ij}=\sum _{r=1}^{p}\left(\sum _{s=1}^{n}A_{is}B_{sr}\right)C_{rj}=\sum _{s=1}^{n}A_{is}\left(\sum _{r=1}^{p}B_{sr}C_{rj}\right)=(A(BC))_{ij}$

[:0-1] “Comprehensive List of Algebra Symbols”. 《Math Vault》 (미국 영어). 2020년 3월 25일. 2020년 9월 6일에 확인함.

[:1-2] Nykamp, Duane. “Multiplying matrices and vectors”. 《Math Insight》. 2020년 9월 6일에 확인함.

[3] O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Jacques Philippe Marie Binet”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.

[Physics_1991-4] Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). 《Encyclopaedia of Physics》 2판. VHC publishers. ISBN 978-3-527-26954-9.

[5] Parker, C. B. (1994). 《McGraw Hill Encyclopaedia of Physics》 2판. ISBN 978-0-07-051400-3.

[6] Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). 《Linear Algebra》. Schaum's Outlines 4판. McGraw Hill (USA). 30–31쪽. ISBN 978-0-07-154352-1.

[7] Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). 《Mathematical methods for physics and engineering》. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[8] Adams, R. A. (1995). 《Calculus, A Complete Course》 3판. Addison Wesley. 627쪽. ISBN 0-201-82823-5.

[9] Horn, Johnson (2013). 《Matrix Analysis》 2판. Cambridge University Press. 6쪽. ISBN 978-0-521-54823-6.

[:02-10] “Comprehensive List of Algebra Symbols”. 《Math Vault》 (미국 영어). 2020년 3월 25일. 2020년 9월 6일에 확인함.

[:12-11] Nykamp, Duane. “Multiplying matrices and vectors”. 《Math Insight》. 2020년 9월 6일에 확인함.

[:2-12] Weisstein, Eric W. “Matrix Multiplication”. 《mathworld.wolfram.com》 (영어). 2020년 9월 6일에 확인함.

[13] Lipcshutz, S.; Lipson, M. (2009). 〈2〉. 《Linear Algebra》. Schaum's Outlines 4판. McGraw Hill (USA). ISBN 978-0-07-154352-1.

[14] Horn, Johnson (2013). 〈0〉. 《Matrix Analysis》 2판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.

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[증명 1]