행렬 곱셈(matrix multiplication)은 행렬에 대한 이항연산이다. 벡터의 선형결합 또는 선형사상의 합성 등의 의미를 부여할 수 있다.
A, B를 각각 m × n, n × p 행렬이라고 하자. A와 B의 곱 AB는 다음과 같은 항을 갖는 m × p 행렬로 정의된다.
-
즉
-
좌측 행렬의 열 수와 우측 행렬의 행 수가 서로 같아야, 두 행렬의 곱이 정의된다.
행렬 곱셈은 결합법칙이 성립한다:
- [증명 1]
행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.
-
하지만,
다만, 특수한 조건을 만족하는 경우에는 교환법칙이 성립한다. 다음과 같은 조건을 만족할 때 행과 열의 개수가 같은 정사각행렬 A와 B에 대해 곱셈의 교환법칙이 성립한다.
- 이면,
- 이다.
- ↑
각각 m × n, n × p, p × q 행렬이라고 하자. 곱은 결합 방식에 상관없이 m × q 행렬이며,
-