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노름 공간

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선형대수학함수해석학에서, 노름 공간(norm空間, 영어: normed space)은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 노름(영어: norm [*])이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다.

노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생각하면 반노름 공간(半norm空間, 영어: seminormed space)의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름(半norm, 영어: seminorm)이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.

삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다.

정의편집

 실수체 또는 복소수체라고 하자.

 -벡터 공간   위의 반노름은 다음 두 조건들을 만족시키는 함수

 
 

이다.[1]:25, §1.33

  • (양의 동차성) 임의의   에 대하여,  
  • (삼각 부등식) 임의의  에 대하여,  

반노름이 주어진  -벡터 공간   -반노름 공간이라고 한다.

  위의 노름은 다음 조건을 추가로 만족시키는 반노름  이다.[1]:3–4, §1.2

  • (양의 정부호성) 모든  에 대하여,  임은  임과 동치이다.

노름이 주어진  -벡터 공간   -노름 공간이라고 한다.[1]:3–4, §1.2

연산편집

직합편집

 -노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족  과 실수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합

 

에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

 

그렇다면,   역시 노름 공간을 이룬다.

부분 공간과 몫편집

 -노름 공간   -부분 벡터 공간  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,   의 노름을 제한한 것을 부여하면,   역시  -노름 공간을 이룬다.

 -노름 공간  닫힌  -부분 벡터 공간  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간   위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

 

그렇다면   역시  -노름 공간을 이룬다.

연속 쌍대 공간편집

 -노름 공간  연속 쌍대 공간   위에는 쌍대 노름

 

을 부여할 수 있으며, 이에 따라   역시  -노름 공간을 이룬다.

하우스도르프화편집

임의의  -반노름 공간  에 대하여, 다음과 같은  -부분 벡터 공간을 정의하자.

 

그렇다면, 몫공간   위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.

완비화편집

 -노름 공간  의 (거리 공간으로서의) 완비화   위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

 

여기서   로 수렴하는 코시 열이다. 이를 부여하면   -바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 자연스러운 단사  -선형 등거리 변환

 

가 존재하여,   의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약  가 이미  -바나흐 공간이라면, 위 함수는 전단사 함수이다.

성질편집

 -반노름 공간   위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 유사 거리 공간으로 만들 수 있다.

 

만약  가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여,  -반노름 공간은 항상  -위상 벡터 공간을 이룬다.

 -반노름 공간 사이의  -선형 변환의 경우, 유계 작용소인 것과 연속 함수인 것이 서로 동치이다.

함의 관계편집

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

 -노름 공간  -내적 공간
 -바나흐 공간  -힐베르트 공간

즉,  -노름 공간  가 주어졌을 때,

  • 만약   -쌍선형 형식을 이루면,   -내적 공간을 이룬다.
  • 만약 완비 거리 공간이라면,   -바나흐 공간을 이룬다.
  • 만약   -내적 공간이자  -바나흐 공간이라면,   -힐베르트 공간이라고 한다.

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모든 벡터 공간에서 자명 반노름(영어: trivial seminorm)  은 반노름을 이루지만, 이는 ( 가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.

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 는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값  은 노름을 이룬다.

유클리드 공간에서의 노름편집

 
서로 다른 노름 공간에서 정의된 단위원.

임의의  에 대하여, 유클리드 공간   위에 다음과 같은 노름  을 정의할 수 있으며, 이를 p 노름이라고 한다.

 

여기서  인 경우는 표준적인 유클리드 노름

 

이다. 만약  일 경우는 상한 노름(영어: supremum norm)

 

이 된다.  인 경우는 맨해튼 노름

 

이 된다.

  노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어,   위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

 

참고 문헌편집

  1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. 

외부 링크편집