쌍곡공간

(쌍곡평면에서 넘어옴)

쌍곡 기하학에서, 쌍곡공간(雙曲空間, 영어: hyperbolic space)은 균일한 음의 곡률을 갖는 동차공간이다.

정의편집

 가 2 이상의 정수라고 하자. n차원 쌍곡공간  은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(영어: sectional curvature)이 −1인  차원 연결 단일 연결 최대 대칭(영어: maximally symmetric) 리만 다양체이다.

성질편집

쌍곡공간   차원 유클리드 공간  위상동형이자 미분동형이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 등거리사상은 존재하지 않는다.

쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

 

여기서  는 쌍곡공간의 계량 텐서이다.

쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군  이다.

모형편집

 차원 쌍곡공간  은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다.

푸앵카레 반공간편집

n차원 열린 상반공간  에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

 

리만 다양체 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 반공간 모형(영어: Poincaré half-space model)이라고 한다. 이 경우, 측지선  평면에 수직인 반원들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

 

푸앵카레 공편집

반지름이 1인 n차원 열린 초공  에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. 여기서  구면좌표계이다 ( ,  ).

 

리만 다양체 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 공 모형(영어: Poincaré ball model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면  에 수직인 원호이다.

갠스 모형편집

n차원 유클리드 공간  에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

 

여기서   구면좌표계이다. 이 리만 다양체 등거리사상을 가지며, 이를 갠스 모형(영어: Gans model)이라고 한다.[1] 갠스 모형  은 푸앵카레 공 모형  과 다음과 같이 대응한다.

 

갠스 모형은 쌍곡면 모형  과 다음과 같이 대응한다.

 

즉, 이는 쌍곡면 모형    공간으로 그대로 사영한 것이다.

쌍곡면 모형편집

 차원 민코프스키 공간  은 다음과 같은 계량을 갖는다.

 

민코프스키 공간 속의, 다음과 같은  차원 초곡면을 생각하자.

 

이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는  등거리사상을 가지며, 이를 쌍곡면 모형(영어: hyperboloid model)이라고 한다.

동차공간으로서의 정의편집

쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

여기서  은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군이며,  직교군이다.

참고 문헌편집

  1. Gans, David (1996년 3월). “A new model of the hyperbolic plane”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 73 (3). doi:10.2307/2315350. JSTOR 2315350. 

외부 링크편집

같이 보기편집