아도 정리

추상대수학에서 아도 정리(영어: Ado's theorem)는 유한차원 리 대수를 특징짓는 정리이다.

정리

아도 정리는 표수 0인 체 $K$에 대한 모든 유한 차원 리 대수 $L$는 리 괄호 ${\textstyle [A,B]=AB-BA}$가 주어진 정사각 행렬들의 리 대수로 볼 수 있다고 한다. 더 정확하게 말하면, 이 정리는 $L$이 유한 차원 $K$-선형 공간 $V$에서 충실한 선형 표현 $p$를 갖는다. 즉, $L$은 $V$의 자기 사상들이 이루는 대수의 어떤 부분 대수와 동형이다.

역사

이 정리는 1935년 니콜라이 체보타료프의 학생이자 카잔 주립대학교의 이고르 드미트리치 아도가 증명했다.

표수에 대한 제한은 나중에 이와사와 겐키치가 제거했다(증명은 아래 게르하르트 호흐실트 논문 참조).

시사점

고전군과 관련된 리 대수의 경우 이 정리로 인한 새로운 것은 없지만 일반적인 리 군을 고려하면 더 깊은 결과이다. 리 군 $G$의 실수 리 대수에 적용하면 $G$가 충실한 선형 표현을 갖는다는 것을 의미하는 것이 아니라(일반적으로 사실이 아님) $G$가 항상 선형군과 국소 동형인 선형 표현을 갖는다는 것을 의미한다.

참고 문헌

• Ado, Igor D. (1935), “Note on the representation of finite continuous groups by means of linear substitutions”, 《Izv. Fiz.-Mat. Obsch. (Kazan')》 7: 1–43 . (Russian language)
• Ado, Igor D. (1947), “The representation of Lie algebras by matrices”, 《Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk》 (러시아어) 2 (6): 159–173, ISSN 0042-1316, MR 0027753  translation in Ado, Igor D. (1949), “The representation of Lie algebras by matrices”, 《American Mathematical Society Translations》 1949 (2): 21, ISSN 0065-9290, MR 0030946 
• Iwasawa, Kenkichi (1948), “On the representation of Lie algebras”, 《Japanese Journal of Mathematics》 19: 405–426, MR 0032613 
• Harish-Chandra (1949), “Faithful representations of Lie algebras”, 《Annals of Mathematics》, Second Series 50: 68–76, doi:10.2307/1969352, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969352, MR 0028829 
• Hochschild, Gerhard (1966), “An addition to Ado's theorem”, 《Proceedings of the American Mathematical Society》 17: 531–533, doi:10.1090/s0002-9939-1966-0194482-0 
• Nathan Jacobson, Lie Algebras, pp. 202–203

외부 링크

• 테런스 타오의 블로그 What's new에 아도 정리, 아도 정리의 설명과 증명이 나와 있다.