고전군

리 군론에서, 고전군(古典群, 영어: classical group)은 실수, 복소수, 또는 사원수 계수의, 특별한 쌍선형 형식 또는 에르미트 형식을 보존하는 정사각 행렬로 구성되는 리 군이다. 이들은 모두 (중심에 대한 몫을 취하면) 단순 리 군을 이룬다. 고전군이 아닌 단순 리 군은 F₄, G₂, E₆, E₇, E₈ 밖에 없다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환 $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}$ (실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수)
• $K$ 위의 유한 차원 왼쪽 가군 (벡터 공간) $_{K}V\cong {}_{K}K^{\oplus n}$
• 실수 결합 대수의 준동형 $\sigma \colon K\to K^{\operatorname {op} }$, $\sigma \in \{\operatorname {id} ,a\mapsto {\bar {a}}\}$. 즉, 이는 항등 함수이거나 또는 ($K\in \{\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}$일 때) 켤레 연산이다.
  • 특히, $K=\mathbb {H}$일 때, $\operatorname {id} \colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$는 환 준동형이 아니므로, $\sigma \colon a\mapsto {\bar {a}}$이어야 한다. 따라서, $(K,\sigma )\in \{(\mathbb {R} ,\operatorname {id} ),(\mathbb {C} ,\operatorname {id} ),(\mathbb {C} ,a\mapsto {\bar {a}}),(\mathbb {H} ,a\mapsto {\bar {a}})\}$ 네 가지가 있다.
• $V$ 위의 함수 $Q\colon V\times V\to K$. 이는 실수 계수 쌍선형 형식이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  $Q(ua,vb)=\sigma (a)Q(u,v)b\qquad \forall u,v\in V,\;a,b\in K$

그렇다면, 이 데이터로 정의되는 고전군은 다음과 같은 부분군이다.

$G=\{T\in \operatorname {GL} (V;K)\colon Q(Tu,Tv)=Q(u,v)\;\forall u,v\in V\}$

분류

$V$ 위의, 위와 같은 함수 $Q\colon V\times V\to K$는 항상 다음과 같이 분해된다.

$Q(u,v)=Q^{+}(u,v)+Q^{-}(u,v)$

$Q^{\pm }(u,v)={\frac {1}{2}}(Q(u,v)\pm \sigma (Q(v,u)))$

그렇다면, $Q^{\pm }$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

$Q^{\pm }(u,v)=\pm \sigma (Q(v,u))$

따라서, $Q$로 정의되는 고전군은 $Q^{+}$와 $Q^{-}$로 정의되는 두 고전군의 교집합이다.

또한, 만약 $K=\mathbb {H}$이며, $\sigma =\operatorname {id}$인 경우, 가능한 $Q$는 $Q=0$ 밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다).

이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다.

계수 $K$	$Q$의 조건	고전군	표준 형식	리 대수 형태
실수체	0	$\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )$	0	${\mathsf {A}}_{n-1}$
	대칭 쌍선형	$\operatorname {O} (p,n-p;\mathbb {R} )$	$x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{p}y_{p}-(x_{p+1}y_{p+1}+\dotsb +x_{n}y_{n})$	${\mathsf {B}}_{(n-1)/2}$ 또는 ${\mathsf {D}}_{n/2}$
	반대칭 쌍선형	$\operatorname {Sp} (n;\mathbb {R} )$ ($n$ 짝수)	$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}+\dotsb +x_{n-1}y_{n}-x_{n}y_{n-1}$	${\mathsf {C}}_{n}$
복소수체	0	$\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )$	0	${\mathsf {A}}_{n-1}$
	대칭 쌍선형	$\operatorname {O} (n;\mathbb {C} )$	$x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}$	${\mathsf {B}}_{(n-1)/2}$ 또는 ${\mathsf {D}}_{n/2}$
	반대칭 쌍선형	$\operatorname {Sp} (n;\mathbb {C} )$ ($n$ 짝수)	$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}+\dotsb +x_{n-1}y_{n}-x_{n}y_{n-1}$	${\mathsf {C}}_{n}$
	에르미트	$\operatorname {U} (p,n-p)$	${\bar {x}}_{1}y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}$	${\mathsf {A}}_{n-1}$
	반에르미트		$\mathrm {i} ({\bar {x}}_{1}y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n})$
사원수 대수	0	$\operatorname {U} ^{*}(2n)$	0	${\mathsf {A}}_{2n-1}$
	에르미트	$\operatorname {USp} (2p,2(n-p))$	${\bar {x}}_{1}y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{p}y_{p}-({\bar {x}}_{p+1}y_{p+1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n})$	${\mathsf {C}}_{n}$
	반에르미트	$\operatorname {O} ^{*}(2n)$	${\bar {x}}_{1}\mathrm {i} y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}\mathrm {i} y_{n}$	${\mathsf {D}}_{n}$

성질

고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\operatorname {U} (p,q)\subseteq \operatorname {GL} (p+q;\mathbb {C} )\cap \operatorname {O} (2p,2q;\mathbb {R} )$

$\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {U} (p,q)\cap \operatorname {O} (p+q;\mathbb {C} )$

$\operatorname {Sp} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {Sp} (p+q;\mathbb {C} )$

$\operatorname {USp} (p,q)=\operatorname {U} (p,q)\cap \operatorname {Sp} (p+q;\mathbb {C} )$

$\operatorname {U} ^{*}(2n)\subseteq \operatorname {GL} (2n;\mathbb {C} )$

$\operatorname {O} ^{*}(2n)=\operatorname {O} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (n,n)$

$\operatorname {U} (n/2)\cong \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sp} (n;\mathbb {R} )$

역사

‘고전군’(영어: classical group)이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년에 최초로 사용하였다.

외부 링크

• “Classical group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.