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리 군(Lie群, 영어: Lie group)은 매끄러운 다양체위상군이다. 즉 의 연산이 매끄러움 구조에 따라 매끄러운 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

목차

정의편집

위상군  매끄러운 다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

 
 

역시 매끄러운 함수라고 하자. 그렇다면  리 군이라고 한다. (사실, 힐베르트의 5번째 문제(영어: Hilbert’s Fifth Problem)의 해에 따라 다양체 · 매끄러운 다양체 · 해석다양체를 구분할 필요가 없다.) 범주론적으로, 이를 매끄러운 다양체범주에서의 군 대상으로 정의할 수도 있다. 리 군의 사상(영어: morphism)은 매끄러운 함수군 준동형이다.

짝수 차원 리 군  복소다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

 
 

정칙 함수라고 하자. 그렇다면  복소수 리 군(영어: complex Lie group)이라고 한다. 복소수 리 군의 사상(영어: morphism)은 정칙 함수군 준동형이다.

표현편집

리 군 G의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 공간 V 위에서의 표현(表現, 영어: representation)은 매끄러운 군 준동형  이다. 힐베르트 공간   위의 표현일 경우, 대개 가역 유계 작용소의 군  으로 가는 매끄러운 준동형  로 정의한다.

반단순 리 군의 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 나타내어진다.

성질편집

리 군은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.

위상수학적 성질편집

국소적으로 유클리드 공간위상동형위상군은 항상 하우스도르프 공간이다.[2]:9, Exercise 1.1.6 따라서, 파라콤팩트 조건만을 추가하면 자동적으로 다양체를 이룬다.

힐베르트의 5번째 문제(영어: Hilbert’s Fifth Problem)의 해에 따르면, 임의의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 파라콤팩트 위상군에 대하여, 이와 위상동형이자 군으로서 동형인 리 군이 존재한다.[2]:9, Theorem 1.1.13 또한, 이러한 리 군은 유일하다.[2]:38, Corollary 1.2.23 즉, 리 군을 정의할 때, 다양체매끄러운 다양체를 굳이 구분할 필요가 없다.

또한, 리 군의 경우, 항상 해석다양체(추이 사상이 항상 해석함수매끄러운 다양체)로 만들 수 있으며, 그 군 연산 또한 해석함수가 되게 할 수 있다.[2]:45, Exercise 1.2.21

두 리 군 사이의 연속 군 준동형은 항상 매끄러운 함수이자 해석함수이다.[2]:45, Exercise 1.2.21

분류편집

연결 공간이 아닌 리 군  는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다.  을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면  은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대이다. 모든 연결 리 군은 또한 (범피복군을 취하여) 단일 연결 리 군  몫군   (여기서  은 이산 중심 정규 부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일 연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일 연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분 대수와 단순 부분 대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.

역사편집

리 군의 이론은 노르웨이의 수학자 소푸스 리가 1873년 경에 미분 방정식의 대칭성을 연구하기 위하여 "변환군"(독일어: Transformationsgruppe 트란스포르마치온스그루페[*])이라는 이름으로 도입하였다.[3][4][5][6][7][8] 그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 노르웨이 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》(독일어: Theorie der Transformationsgruppen)을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고,[9][10][11] 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.

1888년~1890년 동안 빌헬름 킬링은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, 반단순 리 군의 구조론을 제창하였다.[12][13][14][15] 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스(프랑스어: Arthur Tresse)는 "리 군"(프랑스어: groupe de Lie)이라는 용어를 최초로 사용하였다.[16]:3 엘리 카르탕은 1894년 박사 학위 논문에서 킬링의 구조론을 개량·정리하였다.[17] 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.[1]:§26

헤르만 바일반단순 리 군기약 표현들을 무게로서 분류하였고, 이에 대한 바일 지표 공식을 증명하였으며, 이를 양자역학에 응용하였다. 그 뒤 클로드 슈발레하리시찬드라 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 로버트 랭글랜즈랭글랜즈 프로그램으로 이어졌다.

참고 문헌편집

  1. Cartan, Élie (1930). “La théorie des groupes finis et continus et l’Analysis situs. 《Mémorial des sciences mathématiques》 (프랑스어) 42: 1–61. JFM 56.0370.08. 
  2. Tao, Terrence (2014). 《Hilbert’s fifth problem and related topics》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 153. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1564-8. 
  3. Lie, Sophus (1874). “Ueber Gruppen von Transformationen”. 《Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen》 (독일어) 1874: 529–542. JFM 06.0093.01. 
  4. Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformations-Gruppen. Erste Abhandlung”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 3: 19–58. JFM 08.0212.01. 
  5. Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformations-Gruppen. Abhandlung II”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 3: 152–202. JFM 08.0212.01. 
  6. Lie, Sophus (1878). “Theorie der Transformations-Gruppen, III. Bestimmung aller Gruppen einer zweifach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 3: 93–165. JFM 10.0258.01. 
  7. Lie, Sophus (1878). “Theorie der Transformations-Gruppen. Abhandlung IV”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 3: 375–460. JFM 10.0260.01. 
  8. Lie, Sophus (1879). “Theorie der Transformations-Gruppen V”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 4: 232–261. JFM 11.0258.02. 
  9. Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1888). 《Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abschnitt》 (독일어). 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 20.0368.01. 
  10. Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1890). 《Theorie der Transformationsgruppen. Zweiter Abschnitt》 (독일어). 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 23.0364.01. 
  11. Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1893). 《Theorie der Transformationsgruppen. Dritter und Letzter Abschnitt》 (독일어). 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 25.0623.01. 
  12. Killing, Wilhelm (1888). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Erster Theil”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 31 (2): 252–290. JFM 20.0368.03. doi:10.1007/BF01211904. 
  13. Killing, Wilhelm (1889). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Zweiter Theil”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 33 (1): 1–48. JFM 20.0368.03. doi:10.1007/BF01444109. 
  14. Killing, Wilhelm (1889). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Dritter Theil”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 34 (1): 57–122. JFM 21.0376.01. doi:10.1007/BF01446792. 
  15. Killing, Wilhelm (1890). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Vierter Theil (Schluss)”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 36 (2): 161–189. JFM 22.0376.01. doi:10.1007/BF01207837. 
  16. Tresse, Arthur (1893). “Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations” (PDF). 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 18: 1–88. ISSN 0001-5962. JFM 25.0641.01. doi:10.1007/bf02418270. 
  17. Cartan, Élie (1894). “Sur la structure des groupes de transformations finis et continus” (프랑스어). 파리 대학교 박사 학위 논문. Librairie Nony et Cie. JFM 25.0638.02. 

리 이론의 역사편집

응용편집

같이 보기편집

외부 링크편집