리 군

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리 군(Lie群, 영어: Lie group)은 매끄러운 다양체인 위상군이다. 즉 군의 연산이 매끄러움 구조에 따라 매끄러운 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

목차

정의

위상군 $G$에 매끄러운 다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

$\cdot \colon G\times G\to G$

$^{-1}\colon G\to G$

역시 매끄러운 함수라고 하자. 그렇다면 $G$를 리 군이라고 한다. (사실, 힐베르트의 5번째 문제(영어: Hilbert’s Fifth Problem)의 해에 따라 다양체 · 매끄러운 다양체 · 해석다양체를 구분할 필요가 없다.) 범주론적으로, 이를 매끄러운 다양체의 범주에서의 군 대상으로 정의할 수도 있다. 리 군의 사상(영어: morphism)은 매끄러운 함수인 군 준동형이다.

짝수 차원 리 군 $G$에 복소다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

$\cdot \colon G\times G\to G$

$^{-1}\colon G\to G$

이 정칙 함수라고 하자. 그렇다면 $G$를 복소수 리 군(영어: complex Lie group)이라고 한다. 복소수 리 군의 사상(영어: morphism)은 정칙 함수인 군 준동형이다.

표현

리 군 G의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 공간 V 위에서의 표현(表現, 영어: representation)은 매끄러운 군 준동형 $G\to \operatorname {GL} (V)$이다. 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위의 표현일 경우, 대개 가역 유계 작용소의 군 $B({\mathcal {H}})$으로 가는 매끄러운 준동형 $G\to B({\mathcal {H}})$로 정의한다.

반단순 리 군의 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 나타내어진다.

성질

리 군은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.

• 유한 개의 리 군의 곱공간은 리 군을 이룬다. (무한 개의 리 군의 곱공간은 무한 차원이므로, 매끄러운 다양체의 정의에 속하지 않는다.)
• (카르탕 닫힌 부분군 정리 영어: Cartan’s closed subgroup theorem) 리 군의 (위상적으로) 닫힌 부분군의 부분 공간 위상은 매끄러운 다양체이며, 따라서 이에 국한하면 리 군을 이룬다.^:§26
• 리 군의 닫힌 정규 부분군에 대한 몫군은 리 군이다.
• 리 군의 범피복 공간은 자연스러운 리 군의 구조를 갖춘다. (범피복 공간이 아닌 다른 피복 공간에서는 군 구조가 매끄럽지 않을 수 있다.)

위상수학적 성질

국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 위상군은 항상 하우스도르프 공간이다.^{:9, Exercise 1.1.6} 따라서, 파라콤팩트 조건만을 추가하면 자동적으로 다양체를 이룬다.

힐베르트의 5번째 문제(영어: Hilbert’s Fifth Problem)의 해에 따르면, 임의의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 파라콤팩트 위상군에 대하여, 이와 위상동형이자 군으로서 동형인 리 군이 존재한다.^{:9, Theorem 1.1.13} 또한, 이러한 리 군은 유일하다.^{:38, Corollary 1.2.23} 즉, 리 군을 정의할 때, 다양체와 매끄러운 다양체를 굳이 구분할 필요가 없다.

또한, 리 군의 경우, 항상 해석다양체(추이 사상이 항상 해석함수인 매끄러운 다양체)로 만들 수 있으며, 그 군 연산 또한 해석함수가 되게 할 수 있다.^{:45, Exercise 1.2.21}

두 리 군 사이의 연속 군 준동형은 항상 매끄러운 함수이자 해석함수이다.^{:45, Exercise 1.2.21}

분류

연결 공간이 아닌 리 군 $G$는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다. $G_{0}$을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 $G/G_{0}$은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대이다. 모든 연결 리 군은 또한 (범피복군을 취하여) 단일 연결 리 군 ${\tilde {G}}$의 몫군 $G_{0}={\tilde {G}}/N$ (여기서 $N$은 이산 중심 정규 부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일 연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일 연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분 대수와 단순 부분 대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.

역사

리 군의 이론은 노르웨이의 수학자 소푸스 리가 1873년 경에 미분 방정식의 대칭성을 연구하기 위하여 "변환군"(독일어: Transformationsgruppe 트란스포르마치온스그루페^[*])이라는 이름으로 도입하였다. 그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 노르웨이 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》(독일어: Theorie der Transformationsgruppen)을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고, 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.

1888년~1890년 동안 빌헬름 킬링은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, 반단순 리 군의 구조론을 제창하였다. 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스(프랑스어: Arthur Tresse)는 "리 군"(프랑스어: groupe de Lie)이라는 용어를 최초로 사용하였다.^:3 엘리 카르탕은 1894년 박사 학위 논문에서 킬링의 구조론을 개량·정리하였다. 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.^:§26

헤르만 바일은 반단순 리 군의 기약 표현들을 무게로서 분류하였고, 이에 대한 바일 지표 공식을 증명하였으며, 이를 양자역학에 응용하였다. 그 뒤 클로드 슈발레와 하리시찬드라 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 로버트 랭글랜즈의 랭글랜즈 프로그램으로 이어졌다.

참고 문헌

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리 이론의 역사

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• Hawkins, Thomas (2000). 《Emergence of the theory of Lie groups: An Essay in the History of Mathematics 1869–1926》 (영어). Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98963-1. MR 1771134. Zbl 0965.01001. doi:10.1007/978-1-4612-1202-7. 

응용

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• Tung, Wu-Ki (1985년 8월). 《Group theory in physics: an introduction to symmetry principles, group representations, and special functions in classical and quantum physics》 (영어). Singapore: World Scientific. ISBN 978-9971-966-57-7. Zbl 0952.81500. 

같이 보기

• 아벨 군
• 리 대수
• 대수군
• 위상군

외부 링크

• “Lie group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie group, p-adic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Analytic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Compact Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 신상진 (2012년 11월 29일). “23. 리 군(Lie group), 리 대수(Lie algebra)” (비디오). 한양대학교. 
• 이철희. “리군과 리대수”. 《수학노트》. 
• “Given a group G, how many topological/Lie group structures does G have?” (영어). StackExchange.