야코비 행렬

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벡터 미적분학에서, 야코비 행렬(영어: Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수도함수 행렬이다. 야코비 행렬식(영어: Jacobian determinant)은 야코비 행렬의 행렬식을 뜻한다.

정의편집

열린집합  에 정의된 함수  가 점  에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우   에서의 야코비 행렬  은 다음과 같다.

 

즉, 각    번째 성분의  번째 변수에 대한 편도함수이다.

만약  일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식  을 취할 수 있다. 이를   에서의 야코비 행렬식이라고 한다.

특히, 열린집합  에 정의된 미분 가능 함수  의 야코비 행렬  은 다음과 같다.

 
 

야코비 행렬의 표기에는 다음과 같은 표기들이 쓰인다.

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마지막 표기는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용된다.

성질편집

열린집합  에 정의된 함수  가 점  에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

즉,    에서의 프레셰 도함수이다.

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다음과 같은 함수  를 생각하자.

 

모든 편도함수는 다음과 같다.

 

따라서,  의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

 

또한,  의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

 

같이 보기편집

외부 링크편집