헤세 행렬

미적분학에서, 헤세 행렬(Hesse行列, 영어: Hessian matrix)은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 헤세 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤세 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

정의편집

실함수  이 주어졌을 때, 헤세 행렬은 다음과 같이 주어진다.

 

헤세 행렬은, 함수의 기울기 벡터  에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.

함수  의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.

테일러 급수와 헤세 행렬편집

함수   테일러 급수는 헤세 행렬을 이용해서 나타낼 수 있다.

 에 대해   (여기서   가 열벡터라고 할때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)

만약  임계점이라면  이므로  에 대해   이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.

이계도함수 판정편집

함수  의 이계도함수가 연속일 때 헤세 행렬은 대칭행렬이므로 스펙트럼 정리에 따라 헤세 행렬을 다음과 같이 직교대각화할 수 있다.

 

 로 두면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

헤세 행렬의 고윳값의 부호에 따라 이차형식의 정부호성을 판별한다.

  • 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수일 경우, 이차형식은 양의 정부호이고, 임계점은 극솟값이다.
  • 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수일 경우, 이차형식은 음의 정부호이고, 임계점은 극댓값이다.
  • 헤세 행렬의 고윳값에 양수와 음수가 섞여 있는 경우, 이차형식은 부정부호(indefinite)이고, 임계점은 안장점이 된다.

외부 링크편집

같이 보기편집