에너지-운동량 텐서

에너지-운동량 텐서(energy-運動量 tensor, 영어: stress–energy tensor 또는 영어: energy–momentum tensor)는 에너지와 운동량의 밀도 및 유량(流量, flux)을 나타내는 2-텐서다. 비상대론적 역학의 변형력 텐서(stress tensor)를 상대화한 것으로 볼 수 있다. 기호는 라틴 대문자 $T$ 다.

정의

에너지-운동량 텐서의 각 원소 $T^{\alpha \beta }$ 는 4차원 운동량 $p^{\alpha }$ 의 $x^{\beta }$ 방향에 대한 유량(流量, flux)이다. 4차원 운동량의 0번째 원소 $p^{0}$ 은 에너지이고, $x^{0}$ (시간) 방향에 대한 유량은 밀도이므로, 다음과 같이 각 원소를 해석할 수 있다.

$T^{\alpha \beta }$	0	1	2	3
0	에너지 밀도	에너지 유량 ( $x$ 방향)	에너지 유량 ( $y$ 방향)	에너지 유량 ( $z$ 방향)
1	$x$ -방향 운동량 밀도	$x$ 방향 압력	$xy$ 평면에 대한 변형력	$xz$ 평면에 대한 변형력
2	$y$ -방향 운동량 밀도	$xy$ 평면에 대한 변형력	$y$ 방향 압력	$yz$ 평면에 대한 변형력
3	$z$ -방향 운동량 밀도	$xz$ 평면에 대한 변형력	$yz$ 평면에 대한 변형력	$z$ 방향 압력

일반 상대성 이론에서, 아인슈타인-힐베르트 작용을 통해 유도하는 아인슈타인 방정식에 등장하는 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.

T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-\det g}}}{\frac {\delta }{\delta g^{\mu \nu }}}({\sqrt {-\det g}}{\mathcal {L}})=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}

(여기서 −+++ 계량 부호수를 사용한다.) 이는 항상 대칭 텐서이며, 아인슈타인 방정식에 따라 아인슈타인 텐서에 비례한다.

뇌터 정리에 따라, 에너지-운동량 텐서는 민코프스키 공간의 시공간 병진(translation) 대칭에 대응하는 보존량이다. 다만, 뇌터 정리로 유도하는 에너지-운동량 텐서는 일반적으로 대칭 텐서가 아니며, 아인슈타인 방정식에 등장하는 에너지-운동량 텐서와 다를 수 있다.

같이 보기

외부 링크

Lecture, Stephan Waner
Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric