에르미트 행렬

수학에서 에르미트 행렬(Hermite行列, Hermitian matrix) 또는 자기 수반 행렬(自己隨伴行列, self-adjoint matrix)은 자기 자신과 켤레 전치가 같은 복소수 정사각 행렬이다. 실수 대칭 행렬의 일반화이다.

정의

복소수 행렬 $A$가 다음 조건을 만족시키면, 에르미트 행렬이라고 한다.

$A=A^{*}$

즉,

$A_{ij}={\overline {A_{ji}}}$

여기서 $(-)^{*}$은 켤레 전치, ${\overline {(-)}}$은 켤레 복소수이다.

성질

에르미트 행렬의 대각 원소는 항상 실수이다.

증명:

$A$가 에르미트 행렬이라고 하자. 그렇다면, $i=1,\dots ,n$에 대하여,

$A_{ii}={\overline {A_{ii}}}$

이므로,

$\operatorname {Im} A_{ii}=0$

이다. 즉, $A_{ii}\in \mathbb {R}$

에르미트 행렬의 고윳값은 언제나 실수가 된다.

증명:

$\lambda \in \mathbb {C}$가 에르미트 행렬 $A$의 고윳값이라고 하자. 그렇다면,

$Av=\lambda v$

인 고유 벡터 $v\neq 0$가 존재한다. 그렇다면,

$\lambda v^{*}v=v^{*}(\lambda v)=v^{*}(Av)=(v^{*}A)v=(Av)^{*}v=(\lambda v)^{*}v={\overline {\lambda }}v^{*}v$

$v^{*}v=|v_{1}|^{2}+\cdots |v_{n}|^{2}\neq 0$

이므로,

$\lambda ={\overline {\lambda }}$

이다. 즉, $\lambda \in \mathbb {R}$이다.

에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다.

증명:

$0\neq v_{1},v_{2}\in \mathbb {C} ^{n}$가 에르미트 행렬 $A$의 고윳값 $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$에 대한 고유 벡터라고 하자. 그렇다면,

$\lambda _{1}v_{1}^{*}v_{2}=(\lambda _{1}v_{1})^{*}v_{2}=(Av_{1})^{*}v_{2}=(v_{1}^{*}A)v_{2}=v_{1}^{*}(Av_{2})=v_{1}^{*}(\lambda _{2}v_{2})=\lambda _{2}v_{1}^{*}v_{2}$

$\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$

이므로,

$v_{1}^{*}v_{2}=0$

이다.

두 에르미트 행렬의 합 역시 에르미트 행렬이며, 가역 에르미트 행렬의 역행렬 역시 에르미트 행렬이다. 그러나 두 에르미트 행렬의 곱이 에르미트 행렬일 필요는 없다. 사실, 두 에르미트 행렬 $A$와 $B$의 곱 $AB$가 에르미트 행렬일 필요충분조건은 $AB=BA$이다. 특히, 에르미트 행렬 $A$의 거듭제곱 $A^{n}$은 에르미트 행렬이다.

예

예를 들어, 다음과 같은 행렬은 에르미트 행렬이다.

${\begin{pmatrix}2&2+i&4\\2-i&3&i\\4&-i&1\\\end{pmatrix}}$

같이 보기

• 자기 수반 작용소
• 반 에르미트행렬
• 반대칭행렬
• 해밀토니언 행렬
• 복소 행렬

외부 링크

• “Hermitian matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hermitian matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.