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선형대수학에서, 대칭 행렬(對稱行列, 영어: symmetric matrix)은 전치 행렬이 스스로와 같은 행렬이다.

목차

정의편집

행렬  가 다음 조건을 만족시키면, 대칭 행렬이라고 한다.

 

즉,

 

성질편집

유한 차원 벡터 공간대칭 쌍선형 형식은 대칭 행렬의 개념과 일치한다.

연산에 대한 닫힘편집

대칭 행렬은 덧셈과 스칼라 곱셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다.

실수 대칭 행렬편집

스펙트럼 정리에 따르면, 실수 대칭 행렬은 직교 대각화 가능 행렬이며, 반대로 모든 실수 직교 대각화 가능 행렬은 대칭 행렬이다.

실수 대칭 행렬은 에르미트 행렬이므로, 고윳값은 모두 실수이며, 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다.[1]:452–453

반대칭 행렬과의 관계편집

  위의   대칭 행렬의 집합은, 전체 행렬 대수 차원 부분 대수를 이룬다. 또한, 만약  표수가 2가 아닐 경우, 전체 행렬 대수는 대칭 행렬과 반대칭 행렬벡터 공간직합이다. 즉, 다음이 성립한다.

 

구체적으로, 임의의 행렬  는 다음과 같은 대칭 행렬과 반대칭 행렬의 합으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현 방법은 유일하다.

 

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예를 들어, 행렬

 

은 대칭 행렬이다.

함께보기편집

각주편집

  1. Howard Anton, 이장우 역, 《알기쉬운 선형대수》, 범한서적, 2006

외부 링크편집