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수학에서 에르미트 행렬(Hermite行列, Hermitian matrix) 또는 자기 수반 행렬(自己隨伴行列, self-adjoint matrix)은 자기 자신과 켤레 전치가 같은 복소수 정사각 행렬이다. 실수 대칭 행렬의 일반화이다.

정의편집

복소수 행렬  가 다음 조건을 만족시키면, 에르미트 행렬이라고 한다.

 

즉,

 

여기서  켤레 전치,  켤레 복소수이다.

성질편집

에르미트 행렬의 대각 원소는 항상 실수이다.

증명:

 가 에르미트 행렬이라고 하자. 그렇다면,  에 대하여,

 

이므로,

 

이다. 즉,  

에르미트 행렬의 고윳값은 언제나 실수가 된다.

증명:

 가 에르미트 행렬  의 고윳값이라고 하자. 그렇다면,

 

인 고유 벡터  가 존재한다. 그렇다면,

 
 

이므로,

 

이다. 즉,  이다.

에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다.

증명:

 가 에르미트 행렬  의 고윳값  에 대한 고유 벡터라고 하자. 그렇다면,

 
 

이므로,

 

이다.

두 에르미트 행렬의 합 역시 에르미트 행렬이며, 가역 에르미트 행렬의 역행렬 역시 에르미트 행렬이다. 그러나 두 에르미트 행렬의 곱이 에르미트 행렬일 필요는 없다. 사실, 두 에르미트 행렬   의 곱  가 에르미트 행렬일 필요충분조건은  이다. 특히, 에르미트 행렬  의 거듭제곱  은 에르미트 행렬이다.

편집

예를 들어, 다음과 같은 행렬은 에르미트 행렬이다.

 

같이 보기편집

외부 링크편집