처짐각법 (-角法, Slope deflection method) 또는 요각법 (撓角法)은 1915년 에 미네소타 대학교 의 조지 A. 매니 교수가 발표한 연속보와 뼈대 구조 에 적용할 수 있는 구조해석 법의 하나이다. 모멘트 분배법 이 발표되기 전까지 정확한 구조해석 방법의 한 가지로 널리 사용되었다. 기본적으로 절점 과 부재의 회전각을 미지수로 하기 때문에, 변위법 또는 강성도법 에 속한다.
The practical aspect of the slope deflection method and its application to the design of the Roosevelt Road Viaduct (1920) 처짐각법에서는 모멘트 로 인해 발생하는 부재의 휨 과 처짐각 을 고려하지만, 그 영향이 상대적으로 적은 전단 변형과 축방향 변형은 무시한다.
처짐각법은 소규모의 특정 구조물에 대한 효율적인 구조해석 방법이며, 모멘트 분배법을 이해하기 위한 기본이 되는 구조해석 방법이다. 또한 매트릭스 구조 해석 과도 관련이 깊다.
절점의 회전각(처짐각)과 부재의 현회전각을 미지수로 하여 변위의 적합조건에 맞도록 하중을 나타낸 뒤, 힘의 평형조건을 만족시키는 해를 구한다. 해석 결과 직접적으로 얻는 해는 변위이다.
절점 평형 방정식은 각 부재의 재단 모멘트(member end moment)로 인한 각 절점에서의 모멘트의 평형을 나타내는 식이다. 즉, 절점의 고정단 모멘트 와 그 절점에 연결된 각 부재의 재단 모멘트의 총 합에 대한 평형 조건식이다. 자유도를 갖는 각 절점에 대해 다음의 평형 조건을 만족해야 한다.
Σ
(
M
f
+
M
m
e
m
b
e
r
)
=
Σ
M
j
o
i
n
t
{\displaystyle \Sigma \left(M^{f}+M_{member}\right)=\Sigma M_{joint}}
여기서
M
m
e
m
b
e
r
{\displaystyle M_{member}}
M
f
{\displaystyle M^{f}}
M
j
o
i
n
t
{\displaystyle M_{joint}}
횡방향 변위나 지점의 침하 등으로 인한 현회전각이 발생하는 구조물을 처짐각법으로 해석하는 경우 절점 평형 방정식에 더하여 전단력 의 평형 조건이 필요하다.
예제 연속보 오른쪽 그림과 같은 연속보 구조물을 해석해 보자.
부재 AB, BC, CD의 길이는 모두
L
=
10
m
{\displaystyle L=10\ m}
휨 강성은 각각 EI, 2EI, EI이다.
부재 AB는 지점 A로부터
a
=
3
m
{\displaystyle a=3\ m}
P
=
10
k
N
{\displaystyle P=10\ kN}
부재 BC는 부재 전체에 걸쳐
q
=
1
k
N
/
m
{\displaystyle q=1\ kN/m}
부재 CD는 중앙에 크기
P
=
10
k
N
{\displaystyle P=10\ kN}
계산 과정에서, 시계 방향의 회전각과 모멘트를 양(+)으로 한다.
절점 A, B, C의 회전각
θ
A
{\displaystyle \theta _{A}}
θ
B
{\displaystyle \theta _{B}}
θ
C
{\displaystyle \theta _{C}}
고정단 모멘트는 다음과 같다.
M
A
B
f
=
−
P
a
b
2
L
2
=
−
10
×
3
×
7
2
10
2
=
−
14.7
k
N
⋅
m
{\displaystyle M_{AB}^{f}=-{\frac {Pab^{2}}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 3\times 7^{2}}{10^{2}}}=-14.7\ kN\cdot m}
M
B
A
f
=
P
a
2
b
L
2
=
10
×
3
2
×
7
10
2
=
6.3
k
N
⋅
m
{\displaystyle M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=6.3\ kN\cdot m}
M
B
C
f
=
−
q
L
2
12
=
−
1
×
10
2
12
=
−
8.333
k
N
⋅
m
{\displaystyle M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\ kN\cdot m}
M
C
B
f
=
q
L
2
12
=
1
×
10
2
12
=
8.333
k
N
⋅
m
{\displaystyle M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=8.333\ kN\cdot m}
M
C
D
f
=
−
P
L
8
=
−
10
×
10
8
=
−
12.5
k
N
⋅
m
{\displaystyle M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.5\ kN\cdot m}
M
D
C
f
=
P
L
8
=
10
×
10
8
=
12.5
k
N
⋅
m
{\displaystyle M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=12.5\ kN\cdot m}
M
A
B
=
E
I
L
(
4
θ
A
+
2
θ
B
)
=
0.4
E
I
θ
A
+
0.2
E
I
θ
B
{\displaystyle M_{AB}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{A}+2\theta _{B}\right)=0.4EI\theta _{A}+0.2EI\theta _{B}}
M
B
A
=
E
I
L
(
2
θ
A
+
4
θ
B
)
=
0.2
E
I
θ
A
+
0.4
E
I
θ
B
{\displaystyle M_{BA}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{A}+4\theta _{B}\right)=0.2EI\theta _{A}+0.4EI\theta _{B}}
M
B
C
=
2
E
I
L
(
4
θ
B
+
2
θ
C
)
=
0.8
E
I
θ
B
+
0.4
E
I
θ
C
{\displaystyle M_{BC}={\frac {2EI}{L}}\left(4\theta _{B}+2\theta _{C}\right)=0.8EI\theta _{B}+0.4EI\theta _{C}}
M
C
B
=
2
E
I
L
(
2
θ
B
+
4
θ
C
)
=
0.4
E
I
θ
B
+
0.8
E
I
θ
C
{\displaystyle M_{CB}={\frac {2EI}{L}}\left(2\theta _{B}+4\theta _{C}\right)=0.4EI\theta _{B}+0.8EI\theta _{C}}
M
C
D
=
E
I
L
(
4
θ
C
)
=
0.4
E
I
θ
C
{\displaystyle M_{CD}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{C}\right)=0.4EI\theta _{C}}
M
D
C
=
E
I
L
(
2
θ
C
)
=
0.2
E
I
θ
C
{\displaystyle M_{DC}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{C}\right)=0.2EI\theta _{C}}
절점 A, B, C에서 각각 모멘트 평형을 만족해야 하므로,
Σ
M
A
=
M
A
B
+
M
A
B
f
=
0.4
E
I
θ
A
+
0.2
E
I
θ
B
−
14.7
=
0
{\displaystyle \Sigma M_{A}=M_{AB}+M_{AB}^{f}=0.4EI\theta _{A}+0.2EI\theta _{B}-14.7=0}
Σ
M
B
=
M
B
A
+
M
B
A
f
+
M
B
C
+
M
B
C
f
=
0.2
E
I
θ
A
+
1.2
E
I
θ
B
+
0.4
E
I
θ
C
−
2.033
=
0
{\displaystyle \Sigma M_{B}=M_{BA}+M_{BA}^{f}+M_{BC}+M_{BC}^{f}=0.2EI\theta _{A}+1.2EI\theta _{B}+0.4EI\theta _{C}-2.033=0}
Σ
M
C
=
M
C
B
+
M
C
B
f
+
M
C
D
+
M
C
D
f
=
0.4
E
I
θ
B
+
1.2
E
I
θ
C
−
4.167
=
0
{\displaystyle \Sigma M_{C}=M_{CB}+M_{CB}^{f}+M_{CD}+M_{CD}^{f}=0.4EI\theta _{B}+1.2EI\theta _{C}-4.167=0}
위의 평형 방정식을 연립하면, 다음과 같은 절점 변위를 얻는다.
θ
A
=
40.219
E
I
{\displaystyle \theta _{A}={\frac {40.219}{EI}}}
θ
B
=
−
6.937
E
I
{\displaystyle \theta _{B}={\frac {-6.937}{EI}}}
θ
C
=
5.785
E
I
{\displaystyle \theta _{C}={\frac {5.785}{EI}}}
절점 변위를 이용해 재단 모멘트를 구한다.
M
A
B
=
0.4
×
40.219
+
0.2
×
(
−
6.937
)
−
14.7
=
0
{\displaystyle M_{AB}=0.4\times 40.219+0.2\times \left(-6.937\right)-14.7=0}
M
B
A
=
0.2
×
40.219
+
0.4
×
(
−
6.937
)
+
6.3
=
11.57
{\displaystyle M_{BA}=0.2\times 40.219+0.4\times \left(-6.937\right)+6.3=11.57}
M
B
C
=
0.8
×
(
−
6.937
)
+
0.4
×
5.785
−
8.333
=
−
11.57
{\displaystyle M_{BC}=0.8\times \left(-6.937\right)+0.4\times 5.785-8.333=-11.57}
M
C
B
=
0.4
×
(
−
6.937
)
+
0.8
×
5.785
+
8.333
=
10.19
{\displaystyle M_{CB}=0.4\times \left(-6.937\right)+0.8\times 5.785+8.333=10.19}
M
C
D
=
0.4
×
5.785
−
12.5
=
−
10.19
{\displaystyle M_{CD}=0.4\times 5.785-12.5=-10.19}
M
D
C
=
0.2
×
5.785
+
12.5
=
13.66
{\displaystyle M_{DC}=0.2\times 5.785+12.5=13.66}
McCormac, Jack C.; James K. Nelson, Jr. (1997). Structural Analysis: A Classical and Matrix Approach , 2nd, Addison-Wesley, 430-451. ISBN 0-673-99753-7 .
양창현 (2001-01-10). 《구조역학 》, 4판, 청문각, 357-389. ISBN 89-7088-709-1 . 
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