운동 상수

운동 상수(運動常數, 영어: constant of motion)는 물리계가 어떤 운동 법칙에 따라 변화할 때, 그 궤적을 따라 일정한 값이다. 계에 따라, 에너지, 운동량, 각운동량, 라플라스-룽게-렌츠 벡터 따위가 운동 상수가 될 수 있다. 많은 경우, 운동 상수를 알면 계의 궤적을 계산하는 데 큰 도움이 된다.

운동 상수를 찾는 법편집

운동 상수를 찾기 위하여, 계에 따라 다음과 같은 방법을 쓸 수 있다.

  • 라그랑주 역학에서는 뇌터의 정리를 써서, 계의 대칭을 찾으면 이에 해당하는 운동 상수를 계산할 수 있다. 예를 들어, 계의 운동 법칙이 시간에 따라 바뀌지 않으면 계는 에너지를 보존한다.
  • 해밀턴 역학에서는 해밀턴-야코비 방정식을 써서 계를 풀면 자동적으로 운동 상수를 찾을 수 있다.
  • 또한, 해밀턴 역학에서는 해밀토니안과의 푸아송 괄호가 0이고, 시간에 직접적으로 의존하지 않는 관측가능량은 운동 상수임을 보일 수 있다. 즉, 임의의 관측가능량  에 대하여,
 

이다.

  • 양자역학에서도 유사한 공식이 적용된다. 즉,
 

이다. 따라서 해밀토니안과의 교환자가 0이고 시간에 직접 의존하지 않는 관측가능량은 운동 상수가 된다.

고전계에서는 에너지 이외의 운동 상수가 없는 경우가 있는데, 이런 경우는 혼돈된 계(chaotic system)라고 부른다.