일반화 다각형

결합 구조 이론에서, 일반화 다각형(一般化多角形, 영어: generalized polygon)은 특정 크기 이하의 다각형을 갖지 않는 결합 구조이다. 사영 평면다각형의 공통적인 일반화이다.

일반화 사각형의 예

정의편집

임의의  에 대하여, 일반화  각형(영어: generalized  -gon)은 다음 조건들을 모두 만족시키는 결합 구조  이다.

  • 준선형 공간이다. 즉,
    • 임의의 서로 다른 두 점에 대하여 이와 결합하는 직선이 존재하며,
    • 모든 직선은 두 개 이상의 점과 결합한다.
  •  에 대하여,  각형을 부분 구조로 갖지 않는다.
  • 적어도 하나 이상의  각형을 부분 구조로 갖는다. 또한, 다음이 성립한다.
    • 임의의 두 점  에 대하여,   를 꼭짓점으로 갖는  각형이 존재한다.
    • 임의의 두 직선  에 대하여,   을 변으로 갖는  각형이 존재한다.
    • 임의의 점  과 직선  에 대하여,  를 꼭짓점으로,  을 변으로 갖는  각형이 존재한다.

성질편집

일반화  각형의 쌍대 결합 구조 역시 일반화  각형이다.

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특히, 위 정의의 특수한 경우로, 일반화 이각형(一般化二角形, 영어: generalized digon)은 다음 조건을 만족시키는 인접 구조이다.

  • 모든 점은 모든 직선과 인접한다.
  • 두 개 이상의 점이 존재한다.
  • 두 개 이상의 직선이 존재한다.

일반화 삼각형(一般化三角形, 영어: generalized triangle)은 (비퇴화) 사영 평면과 동치인 개념이다.

다각형편집

다각형, 즉 어떤 순환 그래프를 구성하는 결합 구조는 일반화 다각형을 이룬다.

역사편집

일반화 다각형의 개념은 자크 티츠반단순 리 군을 연구하기 위하여 1959년에 도입하였다.

참고 문헌편집

외부 링크편집