결합 구조

기하학에서 결합 구조(結合構造, 영어: incidence structure)는 두 집합 및 그 사이의 어떤 이항 관계로 구성된 수학적 구조이다. 일부 경우, 이는 각각 점과 직선으로 이루어진 기하계로 해석될 수 있다.

정의

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

집합 $X$ . 그 원소를 점(點, 영어: point)이라고 한다.
집합 $L$ . 그 원소를 직선(直線, 영어: line)이라고 한다.
부분 집합 $\vartriangleleft \subseteq X\times L$ . 만약 $(x,l)\in \vartriangleleft$ 라면 이를 $x\vartriangleleft l$ 또는 $l\vartriangleright x$ 로 표기하고, $x$ 가 $l$ 과 결합한다(結合-, 영어: incident)고 한다. (이 이항 관계는 $x\,{\mathsf {I}}\,l$ 또는 $x\in l$ 등으로 표기되기도 한다.)

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 에서, 부분 집합

X'\subseteq X

L'\subseteq L

이 주어졌을 때, $(X',L',\vartriangleleft \upharpoonright X'\times L')$ 를 $(X,L,\vartriangleleft )$ 의 부분 결합 구조(部分結合構造, 영어: incidence substructure)라고 한다.

균등 결합 구조

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 균등 결합 구조(均等結合構造, 영어: uniform incidence structure)라고 한다.

임의의 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, $|\{l\in L\colon x\vartriangleleft l\}|=|\{l\in L\colon y\vartriangleleft l\}|$ 이다.

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 정칙 결합 구조(正則結合構造, 영어: regular incidence structure)라고 한다.

임의의 두 직선 $l,m\in L$ 에 대하여, $|\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}|=|\{x\in X\colon x\vartriangleleft m\}|$ 이다.

이 두 개념은 서로 쌍대이다. 즉, 균등 결합 구조의 쌍대 결합 구조는 정칙 결합 구조이며, 그 역도 성립한다.

선형 공간

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 준선형 공간(準線形空間, 영어: partial linear space)이라고 한다.

(A) 임의의 서로 다른 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, $x\vartriangleleft l\vartriangleright y$ 인 직선 $l\in L$ 이 적어도 하나 이상 존재한다.
(B) 임의의 직선 $l\in L$ 에 대하여, $x\vartriangleleft l\vartriangleright y$ 인 서로 다른 두 점 $x,y\in X$ 이 항상 존재한다.

다음 조건을 만족시키는 준선형 공간 $(X,L,\vartriangleleft )$ 을 선형 공간(線形空間, 영어: linear space)이라고 한다.

(A′) 임의의 서로 다른 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, $x\vartriangleleft l\vartriangleright y$ 인 직선 $l\in L$ 이 유일하게 존재한다.

연산

쌍대 결합 구조

결합 구조 $P=(X,L,\vartriangleleft )$ 가 주어졌을 때, $(L,X,\vartriangleright )$ , 즉

$P$ 의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
$P$ 의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
$P$ 에서 결합하는 점과 직선은 결합하는 직선과 점에 대응되는

결합 구조를 구성할 수 있다. 이를 $P$ 의 쌍대 결합 구조(雙對結合構造, 영어: dual incidence structure)이라고 한다.

스스로의 쌍대와 동형인 결합 구조를 자기 쌍대 결합 구조(自己雙對結合構造, 영어: self-dual incidence structure)라고 한다.

만약 $P$ 가 사영 평면이라면 그 쌍대 결합 구조 역시 사영 평면이다.

결합 행렬

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 가 주어졌으며, $X$ 와 $L$ 이 둘 다 유한 집합이라고 하자. $X$ 와 $L$ 위에 각각 임의의 전순서를 부여하여

X=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}\}

L=\{l_{1},l_{2},\dotsc ,l_{n}\}

로 적자. 그렇다면, 다음과 같은 $m\times n$ 행렬을 정의할 수 있으며, 이를 결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 의 결합 행렬(結合行列, 영어: incidence matrix)이라고 한다.

M_{ij}={\begin{cases}1&x_{i}\vartriangleleft l_{j}\\0&x_{i}\not \vartriangleleft l_{j}\end{cases}}

레비 그래프

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은, 검은색 및 흰색의 그래프 색칠을 갖는 이분 그래프를 정의할 수 있다.

검은 꼭짓점은 점( $X$ 의 각 원소)에 대응한다.
흰 꼭짓점은 직선( $L$ 의 각 원소)에 대응한다.
검은 꼭짓점 $x\in X$ 및 흰 꼭짓점 $l\in L$ 사이에 변이 있을 필요 충분 조건은 $x\vartriangleleft l$ 인지 여부이다.

이를 결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 의 레비 그래프(영어: Levi graph)라고 한다.

예

자명한 결합 구조

임의의 집합 $X$ 에 대하여, $L=\varnothing$ 으로 정의하면, 유일한 결합 구조 $(X,\varnothing ,\varnothing )$ 를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다.

마찬가지로, 임의의 집합 $L$ 에 대하여, $X=\varnothing$ 으로 정의하면, 유일한 결합 구조 $(\varnothing ,L,\varnothing )$ 를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 점이 존재하지 않는다.

그래프

임의의 그래프 $\Gamma$ 가 주어졌을 때,

점을 $\Gamma$ 의 꼭짓점으로 삼으며,
직선을 $\Gamma$ 의 변으로 삼으며,
결합 관계를 변이 꼭짓점을 끝점으로 갖는지 여부로 삼는

결합 구조 $(\operatorname {V} (\Gamma ),\operatorname {E} (\Gamma ),\vartriangleleft )$ 를 정의할 수 있다.

다각형

삼각형 결합 구조

2 이상의 정수 $n\geq 2$ 가 주어졌다고 하자. 집합

X=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}

L=\{l_{1},l_{2},\dotsc ,l_{n}\}

위에, 다음과 같은 결합 관계를 주자.

x_{i}\vartriangleleft l_{j}\iff j-i\equiv 0,1{\pmod {n}}

이 결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 를 $n$ 각형( $n$ 角形, 영어: $n$ -gon)이라고 한다.

특히, 만약 $n\geq 3$ 일 경우 이는 길이 $n$ 의 순환 그래프에 대응하는 결합 구조이다.

블록 설계

임의의 블록 설계 $(X,{\mathcal {B}})$ 가 주어졌을 때,

점을 $X$ 의 원소로 삼으며,
직선을 블록(즉, ${\mathcal {B}}$ 의 원소)으로 삼으며,
결합 관계를 점이 블록의 원소인지 여부로 삼는

결합 구조 $(X,{\mathcal {B}},\in )$ 를 정의할 수 있다.

사영 평면

파노 평면

\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{2}}^{2}

은 사영 평면의 한 예이다.

사영 평면은 특별한 균등 정칙 결합 구조이다.

리만 다양체

임의의 리만 다양체 $(X,g)$ 가 주어졌을 때,

점을 $X$ 의 원소로 삼으며,
직선을 $(X,g)$ 의 (확장 불가능) 측지선으로 삼으며,
결합 관계를 점이 측지선에 속하는지 여부로 삼는

결합 구조를 정의할 수 있다.

일반화 다각형

일반화 다각형은 사영 평면의 일반화이며, 특별한 종류의 준선형 공간이다.

역사

“레비 그래프”라는 용어는 독일의 수학자 프리드리히 빌헬름 다니엘 레비(독일어: Friedrich Wilhelm Daniel Levi, 1888~1966)의 이름을 딴 것이다.

같이 보기

추상다포체

참고 문헌

Dembowski, Peter (1968). 《Finite geometries》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 44. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61786-8. MR 0233275.
Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). 《Configurations from a graphical viewpoint》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.

외부 링크

“Incidence system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Incidence matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Configuration”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Incidence matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Incidence graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Synthetic geometry”. 《nLab》 (영어).