결합 구조

기하학에서 결합 구조(結合構造, 영어: incidence structure)는 두 집합 및 그 사이의 어떤 이항 관계로 구성된 수학적 구조이다. 일부 경우, 이는 각각 점과 직선으로 이루어진 기하계로 해석될 수 있다.

결합 구조의 예. 이는 6개의 점(A, B, C, D, E, P) 및 6개의 직선(l, m, n, o, p, q)을 갖는다.

정의

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 집합 $X$. 그 원소를 점(點, 영어: point)이라고 한다.
• 집합 $L$. 그 원소를 직선(直線, 영어: line)이라고 한다.
• 부분 집합 $\vartriangleleft \subseteq X\times L$. 만약 $(x,l)\in \vartriangleleft$라면 이를 $x\vartriangleleft l$ 또는 $l\vartriangleright x$로 표기하고, $x$가 $l$과 결합한다(結合-, 영어: incident)고 한다. (이 이항 관계는 $x\,{\mathsf {I}}\,l$ 또는 $x\in l$ 등으로 표기되기도 한다.)

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$에서, 부분 집합

$X'\subseteq X$

$L'\subseteq L$

이 주어졌을 때, $(X',L',\vartriangleleft \upharpoonright X'\times L')$를 $(X,L,\vartriangleleft )$의 부분 결합 구조(部分結合構造, 영어: incidence substructure)라고 한다.

균등 결합 구조

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 균등 결합 구조(均等結合構造, 영어: uniform incidence structure)라고 한다.

• 임의의 두 점 $x,y\in X$에 대하여, $|\{l\in L\colon x\vartriangleleft l\}|=|\{l\in L\colon y\vartriangleleft l\}|$이다.

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 정칙 결합 구조(正則結合構造, 영어: regular incidence structure)라고 한다.

• 임의의 두 직선 $l,m\in L$에 대하여, $|\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}|=|\{x\in X\colon x\vartriangleleft m\}|$이다.

이 두 개념은 서로 쌍대이다. 즉, 균등 결합 구조의 쌍대 결합 구조는 정칙 결합 구조이며, 그 역도 성립한다.

선형 공간

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 준선형 공간(準線形空間, 영어: partial linear space)이라고 한다.

• (A) 임의의 서로 다른 두 점 $x,y\in X$에 대하여, $x\vartriangleleft l\vartriangleright y$인 직선 $l\in L$이 적어도 하나 이상 존재한다.
• (B) 임의의 직선 $l\in L$에 대하여, $x\vartriangleleft l\vartriangleright y$인 서로 다른 두 점 $x,y\in X$이 항상 존재한다.

다음 조건을 만족시키는 준선형 공간 $(X,L,\vartriangleleft )$을 선형 공간(線形空間, 영어: linear space)이라고 한다.

• (A′) 임의의 서로 다른 두 점 $x,y\in X$에 대하여, $x\vartriangleleft l\vartriangleright y$인 직선 $l\in L$이 유일하게 존재한다.

연산

쌍대 결합 구조

결합 구조 $P=(X,L,\vartriangleleft )$가 주어졌을 때, $(L,X,\vartriangleright )$, 즉

• $P$의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
• $P$의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
• $P$에서 결합하는 점과 직선은 결합하는 직선과 점에 대응되는

결합 구조를 구성할 수 있다. 이를 $P$의 쌍대 결합 구조(雙對結合構造, 영어: dual incidence structure)이라고 한다.

스스로의 쌍대와 동형인 결합 구조를 자기 쌍대 결합 구조(自己雙對結合構造, 영어: self-dual incidence structure)라고 한다.

만약 $P$가 사영 평면이라면 그 쌍대 결합 구조 역시 사영 평면이다.

결합 행렬

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$가 주어졌으며, $X$와 $L$이 둘 다 유한 집합이라고 하자. $X$와 $L$ 위에 각각 임의의 전순서를 부여하여

$X=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}\}$

$L=\{l_{1},l_{2},\dotsc ,l_{n}\}$

로 적자. 그렇다면, 다음과 같은 $m\times n$ 행렬을 정의할 수 있으며, 이를 결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$의 결합 행렬(結合行列, 영어: incidence matrix)이라고 한다.

$M_{ij}={\begin{cases}1&x_{i}\vartriangleleft l_{j}\\0&x_{i}\not \vartriangleleft l_{j}\end{cases}}$

레비 그래프

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$가 주어졌을 때, 다음과 같은, 검은색 및 흰색의 그래프 색칠을 갖는 이분 그래프를 정의할 수 있다.

• 검은 꼭짓점은 점($X$의 각 원소)에 대응한다.
• 흰 꼭짓점은 직선($L$의 각 원소)에 대응한다.
• 검은 꼭짓점 $x\in X$ 및 흰 꼭짓점 $l\in L$ 사이에 변이 있을 필요 충분 조건은 $x\vartriangleleft l$인지 여부이다.

이를 결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$의 레비 그래프(영어: Levi graph)라고 한다.

예

자명한 결합 구조

임의의 집합 $X$에 대하여, $L=\varnothing$으로 정의하면, 유일한 결합 구조 $(X,\varnothing ,\varnothing )$를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다.

마찬가지로, 임의의 집합 $L$에 대하여, $X=\varnothing$으로 정의하면, 유일한 결합 구조 $(\varnothing ,L,\varnothing )$를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 점이 존재하지 않는다.

그래프

 이 부분의 본문은 그래프입니다.

임의의 그래프 $\Gamma$가 주어졌을 때,

• 점을 $\Gamma$의 꼭짓점으로 삼으며,
• 직선을 $\Gamma$의 변으로 삼으며,
• 결합 관계를 변이 꼭짓점을 끝점으로 갖는지 여부로 삼는

결합 구조 $(\operatorname {V} (\Gamma ),\operatorname {E} (\Gamma ),\vartriangleleft )$를 정의할 수 있다.

다각형

삼각형 결합 구조

2 이상의 정수 $n\geq 2$가 주어졌다고 하자. 집합

$X=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}$

$L=\{l_{1},l_{2},\dotsc ,l_{n}\}$

위에, 다음과 같은 결합 관계를 주자.

$x_{i}\vartriangleleft l_{j}\iff j-i\equiv 0,1{\pmod {n}}$

이 결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$를 $n$각형($n$角形, 영어: $n$-gon)이라고 한다.

특히, 만약 $n\geq 3$일 경우 이는 길이 $n$의 순환 그래프에 대응하는 결합 구조이다.

블록 설계

 이 부분의 본문은 블록 설계입니다.

임의의 블록 설계 $(X,{\mathcal {B}})$가 주어졌을 때,

• 점을 $X$의 원소로 삼으며,
• 직선을 블록(즉, ${\mathcal {B}}$의 원소)으로 삼으며,
• 결합 관계를 점이 블록의 원소인지 여부로 삼는

결합 구조 $(X,{\mathcal {B}},\in )$를 정의할 수 있다.

사영 평면

파노 평면 $\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{2}}^{2}$은 사영 평면의 한 예이다.

 이 부분의 본문은 사영 평면입니다.

사영 평면은 특별한 균등 정칙 결합 구조이다.

리만 다양체

 이 부분의 본문은 리만 다양체입니다.

임의의 리만 다양체 $(X,g)$가 주어졌을 때,

• 점을 $X$의 원소로 삼으며,
• 직선을 $(X,g)$의 (확장 불가능) 측지선으로 삼으며,
• 결합 관계를 점이 측지선에 속하는지 여부로 삼는

결합 구조를 정의할 수 있다.

일반화 다각형

 이 부분의 본문은 일반화 다각형입니다.

일반화 다각형은 사영 평면의 일반화이며, 특별한 종류의 준선형 공간이다.

역사

“레비 그래프”라는 용어는 독일의 수학자 프리드리히 빌헬름 다니엘 레비(독일어: Friedrich Wilhelm Daniel Levi, 1888~1966)의 이름을 딴 것이다.

참고 문헌

• Dembowski, Peter (1968). 《Finite geometries》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 44. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61786-8. MR 0233275. 
• Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). 《Configurations from a graphical viewpoint》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4. 

외부 링크

• “Incidence system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Incidence matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Configuration”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incidence matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incidence graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Synthetic geometry”. 《nLab》 (영어).