확률론과 통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기댓값이 존재한다면 X의 적률생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.
t = 0 근처에서 적률생성함수가 존재한다고 가정할 때 적률생성함수를 이용하면 확률분포의 모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.
X의 확률밀도함수가 f ( x ) {\displaystyle f(x)\ } 이면 적률생성함수는 다음과 같이 구한다.
이때 m i {\displaystyle m_{i}\ } 는 i번째 모멘트이며 M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)\ } 는 f ( x ) {\displaystyle f(x)\ } 의 양측라플라스변환이다.
확률분포가 연속이든 아니든 F가 누적분포함수이면 적률생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.
n개의 확률변수 X 1 , X 2 , . . . X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...X_{n}\ } 가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 a i {\displaystyle a_{i}\ } 에 대해서 S n = ∑ i = 1 n a i X i {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}} 의 확률분포는 X i {\displaystyle X_{i}\ } 각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 적률생성함수는 다음과 같다.