적률생성함수

확률론과 통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기댓값이 존재한다면 X의 적률생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.

$M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right)$, $\quad t\in \mathbb {R}$

t = 0 근처에서 적률생성함수가 존재한다고 가정할 때 적률생성함수를 이용하면 확률분포의 모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.

$E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}M_{X}(t).$

계산

X의 확률밀도함수가 $f(x)\$이면 적률생성함수는 다음과 같이 구한다.

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x$

$=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots ,$

이때 $m_{i}\$는 i번째 모멘트이며 $M_{X}(-t)\$는 $f(x)\$의 양측라플라스변환이다.

확률분포가 연속이든 아니든 F가 누적분포함수이면 적률생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)$

n개의 확률변수 $X_{1},X_{2},...X_{n}\$가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 $a_{i}\$에 대해서 $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$의 확률분포는 $X_{i}\$ 각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 적률생성함수는 다음과 같다.

$M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\ldots M_{X_{n}}(a_{n}t).$

같이 보기

• 확률이론에서 적률생성함수와 같이 변환과 연관된 함수에는 특성함수와 확률생성함수등이 있다.

• 누적생성함수(cumulant-generating function)은 적률생성함수에 로그를 취한 함수이다.