유계 집합

어떤 의미에서 유한한 크기를 갖는 집합
(유계에서 넘어옴)

수학에서 유계 집합(有界集合, 영어: bounded set)은 유한한 영역을 가지는 부분 집합이다. 유계성은 순서거리를 갖춘 집합 위에서 정의되며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.

유계 집합(위)과 유계가 아닌 집합(아래)

정의 편집

유계 집합은 원순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계 집합이 아닌 부분 집합을 무계 집합(無界集合, 영어: unbounded set)이라고 한다.

원순서 집합의 유계 집합 편집

원순서 집합  부분 집합  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는  가 존재한다면,  위로 유계(영어: bounded from above)라고 하며,   상계(영어: upper bound)라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  

마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는  가 존재한다면,  아래로 유계(영어: bounded from below)라고 하며,   하계(영어: lower bound)라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  

유계 집합은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.

거리 공간의 유계 집합 편집

거리 공간  부분 집합  에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점  가 존재한다면,  유계 집합이라고 한다.

 

만약   전체가 유계라면,  유계 공간이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.

위상 벡터 공간의 유계 집합 편집

 실수체 또는 복소수체라고 하자.  -위상 벡터 공간  의 부분 집합  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  (폰 노이만) 유계 집합이라고 한다.

  • 영벡터의 임의의 근방  에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라  가 존재한다.
     
  • 영벡터의 임의의 근방  에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 양의 실수  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여, 만약  라면  
  • 임의의 점렬   에 대하여, 만약  이라면,  이다.[1]:23, Theorem 1.30

이때

 

이다.

서로 다른 정의의 호환 편집

일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.

노름 공간거리 공간위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 국소 볼록 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다.

실수의 집합  의 경우 전순서거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

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 -위상 벡터 공간  에서,

성질 편집

  • 유계 집합의 극은 절대 볼록이고 흡수 집합이다.
  • 집합 A의 모든 가산 부분집합이 유계이면 집합 A는 유계이다.

연산에 대한 닫힘 편집

 -위상 벡터 공간  에서,

  • 유계 집합의 부분 집합은 자명하게 유계 집합이다.
  • 유계 집합의 폐포는 유계 집합이다.
  • 만약  국소 볼록 공간이라면, 유계 집합의 볼록 폐포는 유계 집합이다. (국소 볼록성이 없다면,   공간이 자명하지 않은 열린 볼록 부분집합을 가지지 않기 때문에, 이것은 거짓이다.)
  • 유계 집합의 유한한 합집합이나 유한합은 유계 집합이다.

유계 함수와 유계 작용소 편집

 -위상 벡터 공간  ,   사이의 모든 연속 선형 변환  유계 작용소(즉, 유계 집합의 은 유계 집합)이다. 만약  제1 가산 공간이라면, 모든 유계 작용소  연속 함수이다. (반면, 0이 아닌 선형 변환유계 함수일 수 없다.)

국소 유계 공간 편집

 -위상 벡터 공간  에서, 영벡터  가 유계 근방을 갖는다면,  국소 유계 공간(영어: locally bounded space)이라고 한다.

모든 국소 유계 공간은 제1 가산 공간이다.[1]:13, Theorem 1.15(c)

증명:

 가 0의 근방이며, 유계 집합이라고 하자. 유계 집합의 정의에 따라

 

가 0의 국소 기저임을 보일 수 있으며, 이는 가산 집합이다.

 -국소 볼록 공간  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

일반화 편집

유계 집합의 정의는 위상 가군으로 일반화 할 수 있다. 위상환 R에 있는 위상 가군 M의 부분집합 A0M의 모든 근방 N에 대해서 w A ⊂ N가 성립하도록 하는 0R의 근방 w이 있을 때, 유계 집합이라고 한다.

같이 보기 편집

참고 문헌 편집

  1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001. 

외부 링크 편집