정규화 부분군

군론에서, 정규화 부분군(正規化部分群, 영어: normalizer 노멀라이저[*])은 어떤 부분군을 정규 부분군으로 포함하는 가장 큰 부분군이다.

정의편집

모노이드  부분 집합  정규화 부분 모노이드(영어: normalizer submonoid)는 다음과 같은,  의 부분 집합이다.[1]:30, Definition 1.68[2]:161, Definition 8.11[3]:AI.54, §AI.5.3

 

이는  부분 모노이드를 이룬다.

사실, 임의의 모노이드  의 부분 집합  에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 부분 모노이드를 이룬다.[4]:4–5, Lemma 2.1

 
 

이들은  를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어  이며  부분군이더라도) 서로 다르다.[3]:AI.54

의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 부분군을 이루며, 이를 정규화 부분군이라고 한다. (그러나   는 일반적으로 부분군이 아니다.[3]:AI.54)

성질편집

임의의 모노이드  의 부분 집합  에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다.

 

중심화 부분 모노이드는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 모노이드  의 부분 집합  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

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 부분 집합  중심화 부분군 의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

 

군의 경우 다음이 성립한다.

 

 부분군이라고 하자. 그렇다면,   정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군  에 대하여, 만약   정규 부분군이라면,   부분군이다.

 

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의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 부분 모노이드이지만 일반적으로 부분환을 이루지 못한다.

나눗셈환  의 경우, 다음이 성립한다.

 

증명:

임의의  에 대하여  임을 보이면 족하다. 우선, 만약  이라면 이는 자명하다. 따라서  이라고 가정하자. 그렇다면,

 

이므로  이며  이다.

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만약  가환 모노이드라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은   전체이다.

한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다. 즉, 임의의 모노이드  의 원소  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

공집합의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 모노이드  에 대하여 다음이 성립한다.

 

임의의  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

(그러나 이는 임의의 모노이드에 대하여 성립하지 못한다.)

참고 문헌편집

  1. Bourlès, Henri; Marinescu, Bogdan (2011). 《Linear time-varying systems: algebraic-analytic approach》. Lecture Notes in Control and Information Sciences (영어). doi:10.1007/978-3-642-19727-7. ISSN 0170-8643. 
  2. Hofmann, Karl Heinrich; Mislove, Michael (2012). 〈Compact affine monoids, harmonic analysis and information theory〉. 《Mathematical Foundations of Information Flow》. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics (영어) 71. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4923-1. 2017년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 2월 27일에 확인함. 
  3. Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson. 
  4. Hofmann, Karl Heinrich; Mislove, M. (1971). “The centralizing theorem for left normal groups of units in compact monoids”. 《Semigroup Forum》 (영어) 3: 31–42. doi:10.1007/BF02572939. ISSN 0037-1912. Zbl 0223.22002. 2017년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 2월 27일에 확인함. 

외부 링크편집