시험 함수 공간은 푸리에 변환 에 대하여 닫혀 있지 않으며, 따라서 분포 공간 역시 푸리에 변환에 닫혀 있지 않다. 따라서, 분포의 푸리에 공간을 정의하려면, 시험 함수 공간을 푸리에 변환에 닫혀 있는 함수 공간으로 대체하여야 한다. 이러한 공간으로는 L2 공간 이나 슈바르츠 공간 이 있는데, 후자가 더 작으므로 더 큰 분포 공간을 얻으며, 따라서 이 공간을 사용한다.
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
열린집합
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
슈바르츠 공간
S
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(U)}
프레셰 공간 의 구조를 갖는다.
슈바르츠 공간의 연속 쌍대 공간
S
′
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}'(U)}
조절 분포 공간 (調節分布空間, 영어 : space of tempered distributions )이라고 하고, 그 원소를 조절 분포 (調節分布, 영어 : tempered distribution )라고 한다.
(복소수 값) 슈바르츠 공간 위의 푸리에 변환
F
f
(
p
)
=
∫
R
n
exp
(
2
π
i
x
p
)
f
(
x
)
d
n
x
{\displaystyle {\mathcal {F}}f(p)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(2\pi ixp)f(x)\,d^{n}x}
은 전단사 선형 변환 이다. 따라서, 이를 조절 분포 전체에 다음과 같이 확장할 수 있다.
F
F
:
g
↦
F
(
F
g
)
∀
F
∈
S
′
(
R
n
)
,
g
∈
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}F\colon g\mapsto F({\mathcal {F}}g)\qquad \forall F\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),\;g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
(만약 푸리에 변환을 유니터리 변환이 아니게 정의한다면, 위 정의에
1
/
(
2
π
)
n
{\displaystyle 1/(2\pi )^{n}}
S
′
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
약한-* 위상 을 부여한다면,
S
′
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
국소 볼록 공간 을 이룬다.
모든 시험 함수는 슈바르츠 함수 이다.
D
(
R
n
)
⊂
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
따라서, 모든 조절 분포는 분포 가 된다.
S
′
(
R
n
)
⊂
D
′
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}
유클리드 공간 위의 분포
F
∈
D
′
(
R
n
)
{\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}
동치 이다.
F
∈
S
′
(
R
n
)
{\displaystyle F\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
F
=
{
∂
α
(
(
1
+
|
x
|
2
)
k
f
)
{\displaystyle F=\{\partial ^{\alpha }\left((1+|x|^{2})^{k}f\right)}
다중지표
α
∈
N
n
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
연속 함수
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
임의의
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
Lp 공간
L
p
(
R
n
)
{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}
S
′
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
약한-* 위상 에 대하여) 연속 단사 선형 변환
ι
:
L
p
(
R
n
)
→
S
′
(
R
n
)
{\displaystyle \iota \colon L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
이 존재한다.
또한, 임의의 국소 적분 가능 함수
f
:
R
n
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }
f
(
x
)
/
(
1
+
|
x
|
)
c
{\displaystyle f(x)/(1+|x|)^{c}}
유계 함수 가 되는 실수
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
로랑 슈바르츠 가 도입하였다. 슈바르츠는 원래 이들을 "구형 분포"(프랑스어 : distribution sphérique )라고 불렀고,[ 1]
