편의상 다중지표 를 사용하자.
n
{\displaystyle n}
다중지표
N
n
{\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
순서쌍 이다. 다중지표
α
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
x
α
=
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
n
α
n
{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}
또한,
∂
α
=
∂
α
1
∂
x
1
α
1
∂
α
2
∂
x
2
α
2
⋯
∂
α
n
∂
x
n
α
n
{\displaystyle \partial ^{\alpha }={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}{\frac {\partial ^{\alpha _{2}}}{\partial x_{2}^{\alpha _{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
(편미분 연산은 가환한다고 가정한다.)
임의의 매끄러운 함수
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
노름 을 정의하자. 임의의 다중지표
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
‖
f
‖
α
,
β
=
sup
x
∈
R
n
|
x
α
∂
β
f
(
x
)
|
{\displaystyle \lVert f\rVert _{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{\alpha }\partial ^{\beta }f(x)|}
슈바르츠 함수 (Schwartz函數, 영어 : Schwartz function )란 매끄럽고 모든
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
슈바르츠 공간
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
벡터 공간 을 이루며, 또한 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이에 따라, 푸리에 변환 은 슈바르츠 공간에 유니타리 연산자 임을 보일 수 있다. 즉, 푸리에 변환은 슈바르츠 공간의 선형 자기 동형 이다.
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
위상 을 정의할 수 있다. 즉 함수열
f
i
∈
S
(
R
n
)
{\displaystyle f_{i}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
f
∈
S
(
R
n
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
lim
i
→
∞
‖
f
i
−
f
‖
α
,
β
=
0
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }\lVert f_{i}-f\rVert _{\alpha ,\beta }=0}
이어야 한다. 자명하게, 슈바르츠 공간은 프레셰 공간 을 이룬다.
