# 집합족

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집합론과 관련 수학 분야에서, 집합족(集合族, family of sets)은 집합을 원소로 하는 집합이다.[1]

예를 들어 ${\displaystyle \{\{2,\{3\}\},\{2\},\{5,6\}\}}$은 집합족이며, 구성원인 집합들로 ${\displaystyle \{2,\{3\}\},\{2\},\{5,6\}}$을 가진다. ${\displaystyle \{2,\{3\}\}}$은 집합족이 아니다. ${\displaystyle 2}$가 집합이 아니기 때문이다. 순수집합론(예: ZFC)에서는 모든 대상이 집합이며, 이를테면 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle \{0,1\}}$과 같다.[2] 이 경우 집합족을 일반 집합과 구분하는 것은 의미를 잃는다.

집합 ${\displaystyle S}$의 일부 부분집합들은 항상 집합을 이루며, 이를 ${\displaystyle S}$부분집합족(部分集合族, family of subsets)이라고 한다.[3] 많은 경우, 집합족을 어떤 집합의 부분집합족으로 생각하지 않는다.[4]

용어 "족"(family)은 문맥에 따라 다른 목적을 위해 사용된다.

• 일부 문맥에서, 용어 "집합족"은 "집합의 집합"이라는 용어를 가급적 피하기 위해 쓰인다.[5]
• 일부 문맥에서, "족"은 성분 중복을 허용한다. 이 경우, 구성원들은 서로 다를 필요가 없으며, 예를 들어 ${\displaystyle \{a,a\}}$는 두 구성원 ${\displaystyle a,a}$를 가지는 족을 나타낸다.[6] 마찬가지로 일부 문맥에서는 집합족의 성분 중복이 허용된다(중복집합).[7][8][9]
• 일부 문맥에서, 집합족은 집합이 아니라 고유모임일 수도 있다.

## 예

• 집합 ${\displaystyle S}$ 멱집합 ${\displaystyle P(S)}$ ${\displaystyle S}$ 의 부분집합족이다. ${\displaystyle S}$ 의 (비중복)부분집합족은 모두 ${\displaystyle P(S)}$ 의 부분집합이다.[10]
• 집합 ${\displaystyle A}$ 분할${\displaystyle A}$ 의 공집합이 아니고 합집합이 ${\displaystyle A}$ 인 서로소 부분집합들의 족이다.[11]
• ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$  원소 부분집합을 모은 ${\displaystyle S^{(k)}}$ ${\displaystyle S}$ 의 부분집합족을 이룬다.
• ${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5\}}$ 라 하고 ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S}$ 의 원소 중 ${\displaystyle n}$ 의 배수를 골라낸 집합이라고 할 때, ${\displaystyle F=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}}$ ${\displaystyle S}$ 의 부분집합족이다. 여기서 1, 2, 3, 4를 첨수라고 하고, ${\displaystyle F}$ 첨수된 집합족이라고 한다. 또한, ${\displaystyle B_{1}=\{1,2,3\}}$ 이고 ${\displaystyle B_{2}=B_{3}=\{4,5\}}$ 일 때 ${\displaystyle F'=\{B_{1},B_{2},B_{3}\}}$ 도 집합족이다.
• 모든 순서수의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$ 은 매우 큰 집합족이다. 이는 집합이 아닌 고유모임을 이룬다.
• 모든 집합의 모임인 전체모임 ${\displaystyle V}$ 는 집합족이다. 모든 (비중복)집합족은 ${\displaystyle V}$ 부분모임이다.
• 슈페르너 족포함관계가 성립하지 않는 집합들로 이루어진 집합족이다. 슈페르너의 정리슈페르너 족의 크기의 상계를 제시한다.
• 헬리 족은 교집합이 공집합인 극소부분족이 항상 일정 개 이하의 원소를 갖는 집합족이다. 헬리의 정리에 의하면, 유한 차원 유클리드 공간볼록 집합들은 헬리 족을 이룬다.
• 홀 결혼 정리는 공집합이 아닌 집합들의 유한한 족(중복 허용)이 변별 대표원계를 가질 필요충분조건을 제시한다.

## 관련 개념

일부 수학 개념들은 일정 조건의 집합들을 모아놓은 것으로 생각할 수 있으므로 집합족과 동등한 의미를 가진다.

• 하이퍼그래프정점들의 집합과 간선들의 집합으로 이루어진다. 하이퍼그래프의 간선들은 집합족을 이룬다. 또한 임의의 집합족은 그의 합집합을 정점 집합으로 하는 하이퍼그래프로 간주할 수 있다.
• 추상적 단체의 복합체단체의 복합체(꼭짓점을 서로 맞댄 여러 개의 단체의 합집합) 개념을 조합론적으로 추상화한 것이다. 추상적 단체의 복합체에서는 각 단체를 간단히 그들의 꼭짓점들의 집합으로 표현한다. 비중복 집합족이 그의 임의의 원소의 임의의 부분집합을 원소로 가지면, 이는 추상적 단체의 복합체를 이룬다.
• 결합구조는 점 집합, 선 집합, 그리고 점이 선에 속함을 나타내는 이항관계(결합관계)로 이루어져 있다. 모든 결합구조는 각 직선이 포함하는 점들의 집합으로 이루어진 집합족으로 표현될 수 있다. 반대로 모든 집합족은 결합구조로 표현될 수 있다. 중복을 허용한 집합족은, 서로 다른 직선이 같은 점들을 포함할 수 있는 결합구조에 대응한다.
• 이항 블록 부호는 0과 1만으로 이루어진 같은 길이의 부호어들의 집합이다. 임의의 두 부호어 사이의 해밍 거리가 충분히 크면, 오류정정부호로 사용할 수 있다. 블록 부호는 각 부호어의 1이 쓰인 위치의 집합들이 이루는 집합족에 대응한다.

## 각주

1. J. N. Sharma (2014). 《Krishna's Topology》 (영어). Krishna Prakashan Media. 6쪽. Families of sets. If the elements of a set are sets themselves, then such a set is said to be 'family of sets' . The words 'collection' or 'class' are also used for a set of sets.
2. Tao, Terence (2008). 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-18693-5.
3. 공리적으로, 부분집합족이 항상 집합인 이유는 집합 ${\displaystyle P(P(S))}$ 의 원소이기 때문이다.
4. 그러나 실제로 임의의 집합족 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \bigcup F}$ 의 부분집합족이다.
5. Seymour Lipschutz (1964). 《Schaum's Outline of Theory and Problems of Set Theory and Related Topics》 (영어). Mcgraw-Hill. 4쪽. It sometimes will happen that the objects of a set are sets themselves; for example, the set of all subsets of A. In order to avoid saying "set of sets", it is common practice to say "family of sets" or "class of sets" ... The {{2, 3}, {2}, {5, 6}} is a family of sets. Its members are the sets {2, 3}, {2} and {5, 6} ... Let A ={2, {1, 3}, 4, {2, 5. Then A is not a family of sets; here some elements of A are sets and some are not.}}
6. Emil G. Milewski. 《Set Theory Essentials》 (영어). 15쪽. A family is a collection of members which are not necessarily distinct. For example {a, a} is a family with two members a, and a. On the other hand {a, a} considered as a set is {a, a} = {a}, the singleton set.
7. Brualdi 2010, pg. 322
8. Roberts & Tesman 2009, pg. 692
9. Biggs 1985, pg. 89
10. V. K . Balakrishnan. 《Introductory Discrete Mathematics》 (영어). 4쪽. A set of subsets is also known as a class or family of sets. The class of all subsets of a given set X is called the power set of X and is denoted by P(X). For example, if X = {1, 2}, the elements of P(X) are the empty set, the singleton set {1}, the singleton set {2}, and the set X. Thus P(X) = {emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}
11. Charles C. Pinter. 《A Book of Abstract Algebra: Second Edition》 (영어). 120쪽. A partition of a set A is a family {A_i : i \in I} of nonempty subsets of A which are mutually disjoint and whose union is all of A.

## 참고 문헌

• Biggs, Norman L. (1985), 《Discrete Mathematics》 (영어), Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
• Brualdi, Richard A. (2010), 《Introductory Combinatorics》 (영어) 5판, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2
• Roberts, Fred S.; Tesman, Barry (2009), 《Applied Combinatorics》 (영어) 2판, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9