준파라콤팩트 공간

일반위상수학에서, 준파라콤팩트 공간(準-空間, 영어: subparacompact space)은 파라콤팩트 공간의 개념의 변형이다.

정의

위상 공간 $X$의 집합족 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, 다음 조건들을 정의할 수 있다.

• 만약 임의의 $x\in X$에 대하여, $|\{S\in {\mathcal {S}}\colon U\cap S\neq \varnothing \}|\leq 1$인 근방 $U\ni x$가 존재한다면, ${\mathcal {S}}$를 이산 집합족(離散集合族, 영어: discrete family of sets)이라고 한다.
• 만약 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{S\in {\mathcal {S}}\colon U\cap S\neq \varnothing \}$이 유한 집합인 근방 $U\ni x$가 존재한다면, ${\mathcal {S}}$를 국소 유한 집합족(局所有限集合族, 영어: locally finite family of sets)이라고 한다.
• 만약 임의의 ${\mathcal {S}}'\subseteq {\mathcal {S}}$에 대하여 $\textstyle \operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {S}}'=\bigcup _{S'\in {\mathcal {S}}'}\operatorname {cl} S'$이라면, ${\mathcal {S}}$를 폐포 보존 집합족(閉包保存集合族, 영어: closure-preserving family of sets)이라고 한다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이다. 모든 국소 유한 집합족은 폐포 보존 집합족이다.

만약 ${\mathcal {S}}$가 가산 개의 국소 유한 집합족들의 합집합이라면, ${\mathcal {S}}$를 시그마 국소 유한 집합족(σ-, 영어: sigma-locally finite family)이라고 한다. 이 경우, 설령 ${\mathcal {S}}$가 덮개이더라도 합집합을 취하는 국소 유한 집합족들이 덮개일 필요는 없다. 마찬가지로, 시그마 이산 집합족(σ-, 영어: sigma-discrete family)과 시그마 폐포 보존 집합족(σ-, 영어: sigma-closure-preserving finite family)을 정의할 수 있다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 준파라콤팩트 공간이라고 한다.

• $X$의 임의의 열린 덮개는 시그마 이산 닫힌 세분을 갖는다.
• $X$의 임의의 열린 덮개는 시그마 국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.
• $X$의 임의의 열린 덮개는 시그마 폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.

성질

정칙 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 파라콤팩트 공간이다.
• 모든 열린 덮개는 시그마 이산 열린 세분을 갖는다.
• 모든 열린 덮개는 시그마 국소 유한 열린 세분을 갖는다.^{:146, Theorem 20.7.(b)}
• 모든 열린 덮개는 시그마 폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
• 모든 열린 덮개는 국소 유한 세분을 갖는다. (이 조건에서 세분은 열린 세분일 필요가 없다.)^{:146, Theorem 20.7.(c)}
• 모든 열린 덮개는 국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.^{:146, Theorem 20.7.(d)}

마지막 조건에 따라, 모든 파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다 (영어: Bing’s example H).

외부 링크

• “Subparacompact space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Subparacompact”. 《Encyclopedia of Compactness Wiki》 (영어). 2024년 7월 22일에 확인함. 
• “a-paracompact”. 《Encyclopedia of Compactness Wiki》 (영어). 2024년 7월 22일에 확인함.