수학 에서 체비쇼프 다항식 (Чебышёв多項式, 영어 : Chebyshev polynomial )은 삼각 함수 의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.[ 1] [ 2]
(실수
n
{\displaystyle n}
일계수 다항식 의 집합을
M
o
n
(
n
;
R
)
{\displaystyle \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}
실수
n
{\displaystyle n}
다항식
T
n
∈
R
[
x
]
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}\in \mathbb {R} [x]}
동치 이며, 이를 만족시키는
T
n
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}}
n
{\displaystyle n}
체비쇼프 다항식 이라고 한다.
(재귀적 정의)
T
n
(
x
)
=
2
x
T
n
−
1
(
x
)
−
T
n
−
2
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}(x)=2x\operatorname {T} _{n-1}(x)-\operatorname {T} _{n-2}(x)}
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {T} _{0}(x)=1}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {T} _{1}(x)=x}
(삼각 함수 정의) 항등식
T
n
(
cos
θ
)
=
cos
n
θ
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}(\cos \theta )=\cos n\theta }
T
n
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}}
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
n
{\displaystyle n}
실근 을 가지며,
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
절댓값 이 서로 같은
n
+
1
{\displaystyle n+1}
극값 을 갖는다.(최소 상한 노름 )
1
2
n
−
1
max
x
∈
[
−
1
,
1
]
|
T
n
(
x
)
|
=
min
f
∈
M
o
n
(
n
;
R
)
max
x
∈
[
−
1
,
1
]
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}\max _{x\in [-1,1]}|\operatorname {T} _{n}(x)|=\min _{f\in \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}\max _{x\in [-1,1]}|f(x)|}
드무아브르의 공식 의 실수부를 비교하면
cos
n
x
{\displaystyle \cos nx}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
n
{\displaystyle n}
cos
n
x
{\displaystyle \cos nx}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
sin
2
x
{\displaystyle \sin ^{2}x}
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
d
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
즉, 다음이 성립한다.
∫
−
1
1
T
n
(
x
)
T
m
(
x
)
d
x
1
−
x
2
=
0
(
n
≠
m
)
{\displaystyle \int _{-1}^{1}\operatorname {T} _{n}(x)\operatorname {T} _{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\qquad (n\neq m)}
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.
T
n
(
−
x
)
=
(
−
1
)
n
T
n
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {T} _{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
T
n
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}}
닫힌구간
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
n
{\displaystyle n}
x
k
=
cos
(
2
k
−
1
)
π
2
n
(
k
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
)
{\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\qquad (k\in \{1,2,\dotsc ,n\})}
체비쇼프 다항식을 복소수 함수
T
n
:
C
P
1
→
C
P
1
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}
로 여길 때,
n
>
0
{\displaystyle n>0}
분지점 에서의 값들은 모두
±
1
{\displaystyle \pm 1}
∞
^
{\displaystyle {\widehat {\infty }}}
값이
±
1
{\displaystyle \pm 1}
∞
^
{\displaystyle {\widehat {\infty }}}
나무 이다.)예를 들어,
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
=
2
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
+
1
{\displaystyle \operatorname {T} _{2}(x)=2x^{2}-1=2(x-1)(x+1)+1}
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점
x
∈
{
0
,
∞
^
}
{\displaystyle x\in \{0,{\widehat {\infty }}\}}
T
2
(
0
)
=
−
1
{\displaystyle \operatorname {T} _{2}(0)=-1}
T
2
(
∞
^
)
=
∞
^
{\displaystyle \operatorname {T} _{2}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
=
(
x
−
1
)
(
2
x
+
1
)
2
+
1
=
(
x
+
1
)
(
2
x
−
1
)
2
−
1
{\displaystyle \operatorname {T} _{3}(x)=4x^{3}-3x=(x-1)(2x+1)^{2}+1=(x+1)(2x-1)^{2}-1}
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점
x
∈
{
−
1
/
2
,
1
/
2
}
{\displaystyle x\in \{-1/2,1/2\}}
x
=
∞
^
{\displaystyle x={\widehat {\infty }}}
T
3
(
±
1
/
2
)
=
∓
1
{\displaystyle \operatorname {T} _{3}(\pm 1/2)=\mp 1}
T
3
(
∞
^
)
=
∞
^
{\displaystyle \operatorname {T} _{3}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}}
이에 따라,
T
n
:
C
P
1
→
C
P
1
{\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}
벨리 사상 을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡 은
n
+
1
{\displaystyle n+1}
그래프 이다.
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS 의 수열 A28297 )
T
0
(
x
)
=
1
T
1
(
x
)
=
x
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
T
9
(
x
)
=
256
x
9
−
576
x
7
+
432
x
5
−
120
x
3
+
9
x
T
10
(
x
)
=
512
x
10
−
1280
x
8
+
1120
x
6
−
400
x
4
+
50
x
2
−
1
T
11
(
x
)
=
1024
x
11
−
2816
x
9
+
2816
x
7
−
1232
x
5
+
220
x
3
−
11
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {T} _{0}(x)&=1\\\operatorname {T} _{1}(x)&=x\\\operatorname {T} _{2}(x)&=2x^{2}-1\\\operatorname {T} _{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\operatorname {T} _{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\\operatorname {T} _{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\\operatorname {T} _{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\\operatorname {T} _{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\\operatorname {T} _{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\operatorname {T} _{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\\operatorname {T} _{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\\operatorname {T} _{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}}
파프누티 체비쇼프 가 1854년에 도입하였다.[ 3]
체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn 프랑스어 : Tchebycheff ) 또는 독일어 표기 (독일어 : Tschebyschow )에서 딴 것이다.
↑ Rivlin, Theodore J. (1990). 《The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory》. Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. Wiley-Interscience. ISBN 978-047162896-5 ↑ Mason, J. C.; Handscomb, D. C. (2002년 9월 17일). 《Chebyshev polynomials》 (영어). Chapman and Hall/CRC. doi :10.1201/9781420036114 . ISBN 978-0-8493-0355-5 ↑ Chebyshev, P. L. (1854). “Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes”. 《Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg》 (프랑스어) 7 : 539–586.
![{\displaystyle \operatorname {T} _{n}\in \mathbb {R} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92ab379670278835e83f659dbf0ad2f0c0c6b1b)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}\max _{x\in [-1,1]}|\operatorname {T} _{n}(x)|=\min _{f\in \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}\max _{x\in [-1,1]}|f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60a3588d23424252060b74805f1780704177b0c)
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