다항식환

(다항식의 근에서 넘어옴)

대수학에서, 다항식환(多項式環, 영어: polynomial ring)은 어떤 주어진 을 계수로 하는 다항식들로 구성된 이다.

정의편집

 에 대한 다항식환  는 집합으로서

 

이다. 이 집합의 원소를 다항식이라고 한다. 각 원소  

 

으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈

 

은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우  -가군 구조가 존재한다.

 
 

또한,  에는 다음과 같은 의 구조가 존재한다.

 

다변수 다항식환(多變數多項式環, 영어: polynomial ring in several variables)   과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소  

 

로 표기한다.

성질편집

차수편집

다항식  차수(次數, 영어: degree)는

 

이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은   또는  을 사용한다).

보다 일반적으로, 다변수 다항식  차수

 

이다.

다항식   (또는 다변수 다항식  )가 주어졌고, 편의상  라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

  •  
  • 만약  라면,  
  •  
  • 만약  영역이라면,  

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다항식  (根, 영어: root)은  을 만족시키는 의 원소  를 뜻한다. 이 경우  를 만족시키는 최대의 정수  을 근  중복도(重復度, 영어: multiplicity)라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, 영어: simple root)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, 영어: multiple root)이라고 한다.

가환환  를 계수로 하는 다항식  의 원소  가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 근이다.
  •  

가환환  를 계수로 하는 다항식  의 근  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 단순근이다.
  •  

표수    를 계수로 하는 다항식  의 근  의 중복도가  이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

  • 만약  이라면,  에 대한  의 중복도는  이다.
  • 만약  이라면,  에 대한  의 중복도는   이상이다.

특히, 만약  이거나  이라면,  에 대한  의 중복도는

 

이다.

대수적으로 닫힌 체  를 계수로 하는 다항식  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 다중근을 가진다.
  •  

대수적으로 닫힌 체  를 계수로 하는 기약 다항식  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 다중근을 가진다.
  •  

 를 계수로 하는 기약 다항식  가 주어졌고,  대수적 폐포 라고 하자. 만약  표수가 0이거나,  유한체라면,   에서 다중근을 갖지 않는다 (즉,  분해 가능 다항식이다).

환론적 성질편집

 에 대하여,

영역  를 계수로 하는 다항식  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   가역원이다.
  •  이며,   가역원이다.

보편 성질편집

다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환  ,  환 준동형   및 원소  에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형  가 존재한다.

  •  
  •  

특히, 다음 그림이 가환한다.

 

구체적으로,

 

이다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

외부 링크편집