초현실수

수학에서 초현실수(超現實數, 영어: surreal number)는 모든 실수를 비롯하여 초실수의 무한대와 무한소까지 포함하도록 구성된, 집합이 아닌 전순서 모임(proper class)이다. 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론에서 생각할 경우 초현실수 체는 모든 순서체를 부분체로 포함할 수 있다.

초현실수 구성의 가시화

역사

수학자 존 콘웨이가 바둑을 연구하던 중 영감을 받아 새로운 수의 구성방식을 만든 결과물이 초현실수이다. 이는 도널드 크누스가 쓴 짧은 이야기 "Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness"라는 책에서 소개되었으며, 여기서 초현실수(surreal number)라는 명칭이 처음 쓰였다.

이후 Alling 등에 의해 일반 수학론과의 접점이 찾아지고 자세한 기초론적 연구가 이루어졌다.

구성

각 수는 {L | R}과 같이 표기되어 L에는 그 수보다 작은 수들의 집합, R에는 그 수보다 큰 수들의 집합이 쓰여, 그 중간에 있는 것을 수로 정의하는 방식이다. 0에서 시작하여 정수는 간단히 제시되고, 무한대와 무한소는 귀납적으로 정의된다. 한편 특유의 연산으로부터 일반적인 수 체계에 없는 새로운 수들이 정의되는데, 예컨대 1차적으로 정의된 무한소 $\epsilon$과 0의 한가운데에 있는 ${\frac {\epsilon }{2}}$ 등이 간단히 정의된다.

같이 보기

• 초실수