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해밀턴의 원리

(최소작용의 원리에서 넘어옴)

해밀턴의 원리(Hamilton's principle)란 미분방정식을 사용한 고전역학의 기술방식과는 달리 변분법을 사용해 적분방정식으로 고전역학을 기술하는 원리이다. 이 원리는 고전역학에서 시작된 원리이지만, 전자기학, 일반상대성이론, 양자역학, 양자장론등 여러 물리학 분야를 기술하는 최소작용의 원리로 확장되었다.

수학적 설명편집

해밀턴의 원리는  개의 일반화 좌표  로 표현되는 의 두 상태    사이의 변화는 다음과 같은 작용 범함수극값이라는 원리이다.

 

여기서  은 계의 라그랑지안이다. 바꿔말하면, 변화의 일차 섭동은 작용  의 이차 변화를 이끌어 내는 것을 말한다. 여기서 작용  는 어떤 함수를 대입하면 스칼라가 나오는 범함수임에 유의하자. 함수해석학의 표기를 따르면, 해밀턴의 원리는 계의 진화가 다음과 같은 범함수 방정식

 

의 해임을 의미한다. 여기서 기호  는 미소 변화를 의미한다.

미분방정식을 통한 고전역학의 기술과의 비교편집

위 사실이 미분방정식을 사용한 고전역학의 기술과 동등함을 보이려면, 위 식으로부터 라그랑주 방정식이나 해밀턴 방정식을 얻어낼 수 있어야 한다.

 를 시간이   일 때의 계의 상태    사이의 진화라고 하자. 이 계의 일반화 좌표  를 가상적으로  변분했다 하자. 그리고 양 끝에서는 계의 상태가 정해져 있으므로,  의 값은 0이 된다.

 
 

경로가 변함에 따라 작용이 어떻게 변하는지 알아보기 위해 작용에 변분을 취하면,

 

가 된다. 여기서 마지막 항에 부분적분을 쓰면,

 

이고 양 끝에서 경로의 변분이 0이므로,

 

이 된다. 최종적으로 해밀턴의 원리는 이 변분의 값이 0인 것을 말하므로 괄호안의 항이 0, 즉

 

임을 말한다. 이 해를 라그랑주 방정식과 비교하면 일치함을 확인할 수 있다. 특별히, 이렇게 변분을 통해 얻어진 이 방정식을 오일러-라그랑주 방정식이라고 한다. 따라서 이 최소작용의 원리는 미분방정식을 사용한 고전역학의 기술과 동등함을 알 수 있다.

참고문헌편집

  • 문희태 (2006). 《고전역학》 개정판. 서울: 서울대학교 출판부. 60-5, 274-5쪽. 
  • Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion (2003). 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 229-231쪽. 
  • Herbert Goldstein; Charles Poole, John Safko (2002). 《Classical Mechanics》 3판. Addison Wesley. p. 34-6쪽. 
  • Gray, Chris G (2009). “Principle of least action”. 《Scholarpedia》 4 (12): 8291. doi:10.4249/scholarpedia.8291.