치환 실례

논리학에서, 치환 실례(置換實例, 영어: substitution instance)는 명제를 구성하는 원자 명제를 다른 명제로 대신하여 얻는 명제이다.

명제 논리편집

정의편집

명제 논리에서, 명제 형식  의, 원자 명제   및 명제 형식  에 대한 치환 실례    속의 각   를 넣어 얻는 명제이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

  • 원자 명제  에 대하여,
    •  라면,  
    •  라면,  
  • 명제 형식  에 대하여,  
  • 명제 형식  에 대하여,  

성질편집

만약  항진 명제 형식이라면, 모든 치환 실례   역시 항진 명제 형식이다.[1] 만약  모순 명제 형식이라면, 모든 치환 실례   역시 모순 명제 형식이다.[1]

만약 모든  에 대하여   가 서로 동치라면,   은 서로 동치이다.

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명제

 

의, 원자 명제   및 명제

 
 
 

에 대한 치환 실례는

 

이다.

1차 논리편집

정의편집

1차 논리에서,  의, 변수   및 항  에 대한 치환 실례    속의 각   를 넣어 얻는 항이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.[2]

  • 연산   및 항  에 대하여, (여기서  는 항수)
     

논리식  의, 변수   및 항  에 대한 치환 실례    속의 각 자유 변수   를 넣어 얻는 논리식이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.[2]

  •  에 대하여,  
  • 관계   및 항  에 대하여, (여기서  는 항수)
     
  • 논리식  에 대하여,  
  • 논리식  에 대하여,  
  • 논리식   및 변수  에 대하여,
    •  라면,  
    •  라면,  

논리식   위의, 변수  치환 가능 항(영어: substitutable/free term for  )은 다음 조건을 만족시키는 항  이다.[2]

  • 만약  가 변수  를 포함하며,  가 논리식  를 포함한다면,   의 자유 변수가 아니다.

즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

  •  에 대하여,    위의  의 치환 가능 항이다.
  • 관계   및 항  에 대하여,    위의  의 치환 가능 항이다.
  •    위의  의 치환 가능 항이라면,    위의  의 치환 가능 항이다.
  •    위의  의 치환 가능 항이라면,    위의  의 치환 가능 항이다.
  •  가 변수  를 포함하지 않거나,   의 자유 변수가 아니라면,    위의  의 치환 가능 항이다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Hamilton, Alan G. (1988). 《Logic for Mathematicians》 (영어) 개정판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36865-0. 
  2. “Substitutability”. 《PlanetMath》 (영어). 

외부 링크편집