분지 유형 이론

논리학에서 분지 유형 이론(分枝類型理論, 영어: ramified type theory, 약자 RTT) 또는 복잡 유형 이론(複雜類型理論)은 단순 유형 이론보다 더 세분된 유형을 사용하는 논리 체계이다.^{:Chapter 2}

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. (여기서 $\mathbb {N}$은 음이 아닌 정수의 집합이다.)

• 최대 원소를 갖지 않는 가산 무한 정렬 전순서 집합 $({\mathcal {V}},\leq _{\mathcal {V}})$. 그 원소를 변수(變數, 영어: variable)라고 한다.
• 집합 ${\mathcal {A}}$. 그 원소를 개체(個體, 영어: individual)라고 한다.
• 집합 ${\mathcal {R}}$ 및 함수 $\operatorname {arity} _{\mathcal {R}}\colon {\mathcal {R}}\to \mathbb {N}$. 각 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $\operatorname {arity} _{\mathcal {R}}^{-1}(n)$의 원소를 $n$항 관계($n$項關係, 영어: $n$-ary relation)라고 한다.

그렇다면, $({\mathcal {V}},\leq _{\mathcal {V}},{\mathcal {A}},{\mathcal {R}},\operatorname {arity} _{\mathcal {R}})$에 대한 분지 유형 이론은 다음과 같다.

분지 유형

분지 유형 이론에서 사용되는 분지 유형(分枝類型, 영어: ramified type)과 이들의 차수(次數, 영어: order)는 다음과 같다.

• $\iota ^{0}$은 0차 분지 유형이다.
• $d_{1},\dots ,d_{n}$차 분지 유형 $\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}}$ 및 자연수 $d>\max\{d_{1},\dots ,d_{n}\}$에 대하여, $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$는 $d$차 분지 유형이다.

이들 가운데, 술어적 분지 유형(述語的分枝類型, 영어: predicative ramified type)은 다음과 같다.

• $\iota ^{0}$은 술어적 분지 유형이다.
• $d_{1},\dots ,d_{n}$차 술어적 분지 유형 $\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}}$에 대하여, $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{\max\{d_{1},\dots ,d_{n}\}+1}$는 술어적 분지 유형이다. ($n=0$일 경우, $()^{0}$은 술어적 분지 유형이다.)

술어적 분지 유형은 차수를 생략한 채 $\iota$와 $(\tau _{1},\dots ,\tau _{n})$으로 쓸 수 있다.

분지 유형 이론의 문맥(文脈, 영어: context)은 유한 개의 변수의 집합과 분지 유형의 집합 사이의 함수이다. 문맥은 변수 $x$와 분지 유형 $\tau ^{d}$의 순서쌍 $x{:}\tau ^{d}$들의 유한 집합으로 여길 수 있다. 이 경우, 문맥 $\Gamma$의 정의역(定義域, 영어: domain)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\operatorname {dom} (\Gamma )=\{x|x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \}$

논리식

분지 유형 이론의 유사 논리식(類似論理式, 영어: pseudoformula)은 다음과 같다.

• $n$항 관계 $R$ 및 변수 또는 개체 $p_{1},\dots ,p_{n}$에 대하여, $R(p_{1},\dots ,p_{n})$은 유사 논리식이다.
  • $n=0$일 경우 유사 논리식 $R()$은 0항 관계 $R$와 구분되어야 한다. 분지 유형 이론에서 $n$항 관계는 유사 논리식이 아니다.
• 변수 $x$ 및 유한 개의 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 $p_{1},\dots ,p_{n}$에 대하여, $x(p_{1},\dots ,p_{n})$는 유사 논리식이다.
  • $n=0$일 경우 유사 논리식 $x()$은 변수 $x$와 구분되어야 한다. 분지 유형 이론에서 변수나 개체는 유사 논리식이 아니다.
• 유사 논리식 $\phi ,\psi$에 대하여, $\phi \lor \psi$와 $\lnot \phi$는 유사 논리식이다.
• 유사 논리식 $\phi$ 및 그 자유 변수 $x\in \operatorname {FVar} (\phi )$ 및 분지 유형 $\tau ^{d}$에 대하여, $\forall x{:}\tau ^{d}\phi$는 유사 논리식이다.

유사 논리식의 집합을 ${\mathcal {P}}$라고 하자. 또한 각 유사 논리식 $\phi$에 대하여, $\operatorname {Var} (\phi )$가 $\phi$ 속에 등장하는 모든 변수의 집합이라고 하고,

$x_{1}^{\phi }<_{\mathcal {V}}\cdots <_{\mathcal {V}}x_{|{\operatorname {FVar} (\phi )}|}^{\phi }$

가 $\phi$의 모든 자유 변수라고 하자.

문맥 $\Gamma$에서 개체 또는 유사 논리식 $\phi$가 분지 유형 $\tau ^{d}$를 갖는다는 것은 $\Gamma \vdash \phi {:}\tau ^{d}$로 표기하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. (여기서 $\vdash \phi {:}\tau ^{d}$는 $\varnothing \vdash \phi {:}\tau ^{d}$를 뜻한다.)

• 개체 $a$에 대하여, $\vdash a{:}\iota ^{0}$이다.
• $n$항 관계 $R$ 및 개체 $a_{1},\dots ,a_{n}$에 대하여, $\vdash R(a_{1},\dots ,a_{n}){:}()^{1}$이다.
• (논리 연산) 문맥 $\Gamma ,\Delta$ 및 유사 논리식 $\phi ,\psi$ 및 분지 유형 $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{m}})^{d},({\tau _{1}'}^{d_{1}'},\dots ,{\tau _{n}'}^{d_{n}'})^{d'}$에 대하여, 만약 $\Gamma \vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{m}})^{d}$이며, $\Delta \vdash \psi {:}({\tau _{1}'}^{d_{1}'},\dots ,{\tau _{n}'}^{d_{n}'})^{d'}$이며, $\max \operatorname {dom} (\Gamma )<\min \operatorname {dom} (\Delta )$라면,
  $\Gamma \cup \Delta \vdash \phi \lor \psi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{m}},{\tau _{1}'}^{d_{1}'},\dots ,{\tau _{n}'}^{d_{n}'})^{\max\{d,d'\}}$
  $\Gamma \vdash \lnot \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{m}})^{d}$
  이다.
• (한정) 문맥 $\Gamma$ 및 유사 논리식 $\phi$ 및 $i\in \{1,\dots ,|{\operatorname {FVar} (\phi )}|\}$ 및 분지 유형 $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$에 대하여, 만약 $\Gamma \cup \{x_{i}^{\phi }{:}\tau _{i}^{d_{i}}\}\vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$라면,
  $\Gamma \vdash \forall x_{i}^{\phi }{:}\tau _{i}^{d_{i}}\phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{i-1}^{d_{i-1}},\tau _{i+1}^{d_{i+1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$
  이다.
• (매개 변수에 대한 추상화) 문맥 $\Gamma$ 및 유사 논리식 $\phi$ 및 그 개체이거나 유사 논리식인 매개 변수 $\psi \in \operatorname {Par} (\phi )\cap ({\mathcal {A}}\cup {\mathcal {P}})$ 및 분지 유형 $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d},\tau _{n+1}^{d_{n+1}}$ 및 변수 $y>\max \operatorname {dom} (\Gamma )$에 대하여, 만약 $\Gamma \vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$이며 $\Gamma \vdash \psi {:}\tau _{n+1}^{d_{n+1}}$이라면,
  $\{x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \cup \{y{:}\tau _{n+1}^{d_{n+1}}\}|x\in \operatorname {Var} ((\phi )_{\Gamma ,\psi ,y})\}\vdash (\phi )_{\Gamma ,\psi ,y}{:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n+1}^{d_{n+1}})^{\max\{d,d_{n+1}+1\}}$
  이다. 여기서 $(\phi )_{\Gamma ,\psi ,y}$는 $\phi$에 등장하는 $\psi$와 α_Γ-동치인 각 매개 변수 $\psi '$를 $y$로 대체하여 얻는 유사 논리식이다. (《수학 원리》에서 이는 $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$가 술어적 분지 유형인 경우로 제한된다.)
• (논리식에 대한 추상화) 문맥 $\Gamma$ 및 유사 논리식 $\phi$ 및 분지 유형 $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$ 및 변수 $y>\max \operatorname {dom} (\Gamma )$에 대하여, 만약 $\Gamma \vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$이라면,
  $\{x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \cup \{y{:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}\}|x\in \operatorname {FVar} (\phi )\cup \{y\}\}\vdash y(x_{1}^{\phi },\dots ,x_{n}^{\phi }){:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}},(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d})^{d+1}$
  이다. (이 경우 반드시 ${|{\operatorname {FVar} (\phi )}|}=n$임을 보일 수 있다.) (《수학 원리》에서 이는 $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$가 술어적 분지 유형인 경우로 제한된다.)
• (치환) 문맥 $\Gamma$ 및 자유 변수를 갖는 유사 논리식 $\phi$ 및 개체 또는 유사 논리식 $\psi$ 및 분지 유형 $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$에 대하여, 만약 $\Gamma \cup \{x_{1}^{\phi }{:}\tau _{1}^{d_{1}}\}\vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$이며, $\Gamma \vdash \psi {:}\tau _{1}^{d_{1}}$라면,
  $\{x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \cup \{x_{1}^{\phi }{:}\tau _{1}^{d_{1}}\}|x\in \operatorname {Var} (\phi [\psi /x_{1}^{\phi }])\}\vdash \phi [\psi /x_{1}^{\phi }]{:}(\tau _{2}^{d_{2}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{\max(\{d_{2},\dots ,d_{n}\}\cup \{e|\phi [\psi /x_{1}^{\phi }]=\cdots \forall x{:}\tau ^{e}\cdots \})+1}$
  이다. (이 경우 $\phi [\psi /x_{1}^{\phi }]$는 반드시 정의됨을 보일 수 있다.)
• (약화) 문맥 $\Gamma ,\Delta$ 및 유사 논리식 $\phi$ 및 분지 유형 $\tau ^{d}$에 대하여, 만약 $\Gamma \vdash \phi {:}\tau ^{d}$이며, $\Gamma \subseteq \Delta$라면, $\Delta \vdash \phi {:}\tau ^{d}$이다.
• (순열) 문맥 $\Gamma$ 및 유사 논리식 $\phi$ 및 $i\in \{1,\dots ,|{\operatorname {FVar} (\phi )}|\}$ 및 분지 유형 $(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$ 및 변수 $y>\max \operatorname {dom} (\Gamma )$에 대하여, 만약 $\Gamma \cup \{x_{i}^{\phi }{:}\tau _{i}^{d_{i}}\}\vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}$라면,
  $\{x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \cup \{x_{i}^{\phi }{:}\tau _{i}^{d_{i}},y{:}\tau _{i}^{d_{i}}\}|x\in \operatorname {Var} (\phi [y/x_{i}^{\phi }])\}\vdash \phi [y/x_{i}^{\phi }]{:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{i-1}^{d_{i-1}},\tau _{i+1}^{d_{i+1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}},\tau _{i}^{d_{i}})^{d}$
  이다.

주어진 문맥 속에서, 유사 논리식의 분지 유형은 존재하지 않을 수 있으나, 만약 존재한다면 이는 유일하다. 주어진 유사 논리식은 서로 다른 문맥 속에서 서로 다른 분지 유형을 가질 수 있다. 유사 논리식 $\phi$에 대하여, $\Gamma \vdash \phi {:}\tau ^{d}$인 문맥 $\Gamma$과 $\tau ^{d}$가 존재한다면, $\phi$를 논리식(論理式, 영어: formula)이라고 한다.

연산

자유 변수, 매개 변수, 재귀 매개 변수

분지 유형 이론의 각 유사 논리식 $\phi$의 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)의 집합 $\operatorname {FVar} (\phi )$, 매개 변수(媒介變數, 영어: parameter)의 집합 $\operatorname {Par} (\phi )$, 재귀 매개 변수(再歸媒介變數, 영어: recursive parameter)의 집합 $\operatorname {RPar} (\phi )$은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. (매개 변수와 재귀 매개 변수는 이름과 달리 변수가 아닐 수 있다.)

• $n$항 관계 $R$ 및 변수 또는 개체 $p_{1},\dots ,p_{n}$에 대하여,
  $\operatorname {FVar} (R(p_{1},\dots ,p_{n}))={\mathcal {V}}\cap \{p_{1},\dots ,p_{n}\}$
  $\operatorname {Par} (R(p_{1},\dots ,p_{n}))=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}$
  $\operatorname {RPar} (R(p_{1},\dots ,p_{n}))=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}$
• 변수 $x$ 및 유한 개의 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 $p_{1},\dots ,p_{n}$에 대하여,
  $\operatorname {FVar} (x(p_{1},\dots ,p_{n}))={\mathcal {V}}\cap \{x,p_{1},\dots ,p_{n}\}$
  $\operatorname {Par} (x(p_{1},\dots ,p_{n}))=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}$
  $\operatorname {RPar} (x(p_{1},\dots ,p_{n}))=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}\cup \bigcup _{\phi \in {\mathcal {P}}\cap \{p_{1},\dots ,p_{n}\}}\operatorname {RPar} (\phi )$
• 유사 논리식 $\phi ,\psi$에 대하여,
  $\operatorname {FVar} (\phi \lor \psi )=\operatorname {FVar} (\phi )\cup \operatorname {FVar} (\psi )$
  $\operatorname {Par} (\phi \lor \psi )=\operatorname {Par} (\phi )\cup \operatorname {Par} (\psi )$
  $\operatorname {RPar} (\phi \lor \psi )=\operatorname {RPar} (\phi )\cup \operatorname {RPar} (\psi )$
  $\operatorname {FVar} (\lnot \phi )=\operatorname {FVar} (\phi )$
  $\operatorname {Par} (\lnot \phi )=\operatorname {Par} (\phi )$
  $\operatorname {RPar} (\lnot \phi )=\operatorname {RPar} (\phi )$
• 유사 논리식 $\phi$ 및 그 자유 변수 $x\in \operatorname {FVar} (\phi )$에 대하여,
  $\operatorname {FVar} (\forall x\phi )=\operatorname {FVar} (\phi )\setminus \{x\}$
  $\operatorname {Par} (\forall x\phi )=\operatorname {Par} (\phi )$
  $\operatorname {RPar} (\forall x\phi )=\operatorname {RPar} (\phi )$

치환

변수 또는 개체 또는 유사 논리식 $p,q_{1},\dots ,q_{k}$ 및 서로 다른 변수 $x_{1},\dots ,x_{k}$에 대하여,

$p\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle ={\begin{cases}p&p\not \in \{x_{1},\dots ,x_{k}\}\\q_{j}&p=x_{j}\end{cases}}$

이라고 하자.

유사 논리식 $\phi$ 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 $q_{1},\dots ,q_{k}$ 및 서로 다른 변수 $x_{1},\dots ,x_{k}$에 대하여, 치환 실례(置換實例, 영어: substitutional instance) $\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]$는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

• $n$항 관계 $R$ 및 변수 또는 개체 $p_{1},\dots ,p_{n},q_{1},\dots ,q_{k}$ 및 서로 다른 변수 $x_{1},\dots ,x_{k}$에 대하여,
  $R(p_{1},\dots ,p_{n})[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]=R(p_{1}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle ,\dots ,p_{n}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle )$
• 변수 $x$ 및 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 $p_{1},\dots ,p_{n},q_{1},\dots ,q_{k}$ 및 서로 다른 변수 $x_{1},\dots ,x_{k}$에 대하여,
  $x(p_{1},\dots ,p_{n})[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]={\begin{cases}x(p_{1}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle ,\dots ,p_{n}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle )&x\not \in \{x_{1},\dots ,x_{k}\}\\q_{i}(p_{1}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle ,\dots ,p_{n}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle )&x=x_{i},\;q_{i}\in {\mathcal {V}}\\q_{i}[p_{1}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle /x_{1}^{q_{i}},\dots ,p_{n}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle /x_{n}^{q_{i}}]&x=x_{i},\;q_{i}\in {\mathcal {P}},\;|{\operatorname {FVar} (q_{i})}|=n\end{cases}}$
• 유사 논리식 $\phi ,\psi$ 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 $q_{1},\dots ,q_{k}$ 및 서로 다른 변수 $x_{1},\dots ,x_{k}$에 대하여,
  $(\phi \lor \psi )[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]=\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]\lor \psi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]$
  $(\lnot \phi )[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]=\lnot (\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}])$
• 유사 논리식 $\phi$ 및 그 자유 변수 $x\in \operatorname {FVar} (\phi )$ 및 분지 유형 $\tau ^{d}$ 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 $q_{1},\dots ,q_{k}$ 및 서로 다른 변수 $x_{1},\dots ,x_{k}$에 대하여,
  $(\forall x{:}\tau ^{d}\phi )[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]={\begin{cases}\forall x{:}\tau ^{d}(\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}])&x\not \in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\\\forall x{:}\tau ^{d}(\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{i-1}/x_{i-1},q_{i+1}/x_{i+1},\dots ,q_{k}/x_{k}])&x=x_{i}\end{cases}}$

위 경우에 속하지 않는 치환 실례는 정의되지 않는다. 예를 들어, 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 $p_{1},\dots ,p_{n},q_{1},\dots ,q_{k}$ 및 서로 다른 변수 $x_{1},\dots ,x_{k}$에 대하여, 만약 $q_{i}\in {\mathcal {A}}$이거나, $q_{i}\in {\mathcal {P}}$이며 $q_{i}$의 자유 변수가 정확히 $n$개가 아닐 경우, $x_{i}(p_{1},\dots ,p_{n})[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]$는 정의되지 않는다.

α-동치

두 유사 논리식 $\phi ,\psi$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 전단사 함수 $f\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}$가 존재한다면, $\phi ,\psi$가 서로 α-순열 동치(α-順列同値, 영어: α-equivalent modulo permutation)라고 한다.

• $\psi$는 $\phi$에 등장하는 각 변수 $x$를 $f(x)$로 대체하여 얻는다. (특히, $f(\operatorname {Var} (\phi ))=\operatorname {Var} (\psi )$이다.)

두 유사 논리식 $\phi ,\psi$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 함수 $f\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}$가 존재한다면, $\phi ,\psi$가 서로 α-동치(α-同値, 영어: α-equivalent)라고 한다.

• $\psi$는 $\phi$에 등장하는 각 변수 $x$를 $f(x)$로 대체하여 얻는다. (특히, $f(\operatorname {Var} (\phi ))=\operatorname {Var} (\psi )$이다.)
• $f|_{\operatorname {Var} (\phi )}$는 증가 함수이다. 즉, 임의의 $x,y\in \operatorname {Var} (\phi )$에 대하여, $x<_{\mathcal {V}}y\iff f(x)<_{\mathcal {V}}f(y)$

두 유사 논리식 $\phi ,\psi$ 및 문맥 $\Gamma$에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 전단사 함수 $f\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}$가 존재한다면, $\phi ,\psi$가 서로 α_Γ-동치(α_Γ-同値, 영어: α_Γ-equivalent)라고 한다.

• $\psi$는 $\phi$에 등장하는 각 변수 $x$를 $f(x)$로 대체하여 얻는다. (특히, $f(\operatorname {Var} (\phi ))=\operatorname {Var} (\psi )$이다.)
• $f|_{\operatorname {Var} (\phi )}$는 증가 함수이다. 즉, 임의의 $x,y\in \operatorname {Var} (\phi )$에 대하여, $x<_{\mathcal {V}}y\iff f(x)<_{\mathcal {V}}f(y)$
• 임의의 $x\in {\mathcal {V}}$ 및 분지 유형 $\tau ^{d}$에 대하여, $x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \iff f(x){:}\tau ^{d}\in \Gamma$

역사

버트런드 러셀이 《수학 원리》에서 제시하였다.

참고 문헌

• 박정일 (2017). “비트겐슈타인과 환원 가능성 공리” (PDF). 《논리연구》 20 (1): 69–96. ISSN 1598-7493. 2019년 5월 8일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2020년 4월 12일에 확인함. 
• 박정일 (2018). “전기 비트겐슈타인과 유형 이론” (PDF). 《논리연구》 21 (1): 1–37. ISSN 1598-7493. 2019년 5월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2020년 4월 12일에 확인함. 
• 오은영 (1987). “러셀의 유형 이론” (PDF). 《철학논집》 5: 166–207. ISSN 1738-8104.